\contentsline {chapter}{Samenvatting}{i}
\contentsline {chapter}{Voorwoord}{ii}
\contentsline {chapter}{Inhoudsopgave}{v}
\contentsline {chapter}{Inleiding en preliminaria}{1}
\contentsline {section}{Infinitesimaal-generatoren en de symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies}{1}
\contentsline {subsubsection}{De symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies}{1}
\contentsline {subsubsection}{De oplosbaarheid van een Cauchy-probleem, infinitesimaal-generatoren}{1}
\contentsline {subsubsection}{Een expliciete uitdrukkingen voor de oplossing van het Cauchy-probleem}{2}
\contentsline {section}{Preliminaria}{2}
\contentsline {subsection}{Ruimten}{2}
\contentsline {subsection}{Operatoren}{2}
\contentsline {chapter}{\numberline {1}De evolutievergelijking in de ruimte der getemperde distributies}{3}
\contentsline {section}{Inleiding}{3}
\contentsline {section}{\numberline {1.1}De operator ${\@mathcal A}$ en de hulp-operator ${\@mathcal Q}$}{3}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.1}De operator ${\@mathcal A}$}{3}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.2}De operator ${\@mathcal Q}$}{4}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.3}De Hermite-basis van $\@mathsfsl {L}_2 (\@mathbb {R})$ en de matrix-representatie van de operator ${\@mathcal A}$}{5}
\contentsline {section}{\numberline {1.2}De operator ${\@mathcal Q}^k$ en de Hilbert-ruimten $\@mathsfsl {h}_k$}{7}
\contentsline {section}{\numberline {1.3}De operator ${\@mathrm A}$ als infinitesimaal-generator op de Hil\penalty \@M \hskip \z@skip \discretionary {-}{}{}\penalty \@M \hskip \z@skip bert-\penalty \@M \hskip \z@skip \discretionary {-}{}{}\penalty \@M \hskip \z@skip ruimten $\@mathsfsl {h}_k$}{9}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{9}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.1}De eerste criteria voor de existentie-stelling}{9}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.2}Golf- en diffusieachtige operatoren, twee afschattingen}{10}
\contentsline {subsubsection}{Golf- en diffusieachtige operatoren}{10}
\contentsline {subsubsection}{De matrix-representatie van ${\@mathrm Q}^k {\@mathrm A}{\@mathrm Q}^{-k}$, twee afschattingen}{11}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.3}De operator ${\@mathrm A}_k$ is een infinitesimaal-generator}{20}
\contentsline {section}{\numberline {1.4}Existentie en \'{e}\'{e}nduidigheid van de oplossing van het Cauchy-probleem in $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{21}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.1}De propagator op rijtjesruimten}{21}
\contentsline {subsubsection}{De propagator op de ruimten $\@mathsfsl {h}_k$}{21}
\contentsline {subsubsection}{De propagator op de ruimte $\@mathsfsl {s}$}{21}
\contentsline {subsubsection}{De propagator op de ruimte $\@mathsfsl {s}'$}{22}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.2}Distributieruimten gerepresenteerd als rijtjesruimten}{22}
\contentsline {subsubsection}{De ruimten $\@mathsfsl {H}_k$}{22}
\contentsline {subsubsection}{De ruimte $\@mathsfsl {S}(\@mathbb {R})$}{23}
\contentsline {subsubsection}{De ruimte $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{23}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.3}Continu\dutch@umlaut {\i }teit van de propagator op distributieruimten}{23}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.4}De propagator en het Cauchy-probleem}{24}
\contentsline {chapter}{\numberline {2}De ruimte ${\bf GF}$ als invariante deelruimte}{25}
\contentsline {section}{Inleiding}{25}
\contentsline {subsection}{Notatie}{25}
\contentsline {section}{\numberline {2.1}De operator ${\@mathcal A}$ en de evolutievergelijking onder ${\@mathcal F}$, ${\@mathcal T}_a$ en ${\@mathcal E}_a$}{26}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.1}Enige eigenschappen van de operator ${\@mathcal A}$}{26}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.2}Differentieerbaarheid, enige eigenschappen van de propagator}{27}
\contentsline {section}{\numberline {2.2}De ruimte ${\bf GF}$}{28}
\contentsline {section}{\numberline {2.3}Operatoren op de ruimte ${\bf GF}$}{29}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}De operator ${\@mathcal F}$}{29}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}De operatoren ${\@mathcal P}$, ${\@mathcal D}$, ${\@mathcal X}$, ${\@mathcal T}_a$, ${\@mathcal E}_a$ en ${\@mathcal S}_a$}{33}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.3}De operator ${\@mathcal A}$ als operator op de ruimte ${\bf GF}$}{35}
\contentsline {section}{\numberline {2.4}Een convergentie-begrip op ${\bf GF}$, differenti\dutch@umlaut {e}ren binnen de ruimte ${\bf GF}$}{36}
\contentsline {section}{\numberline {2.5}Oplossingen van het Cauchy-probleem in ${\bf GF}$, uitgedrukt in oplossingen van een Cauchy-probleem in ${\bf GF}_+$}{38}
\contentsline {section}{\numberline {2.6}Een oplossing van het Cauchy-probleem in de ruimte ${\bf GF}_+$}{39}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{39}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.1}Een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen}{39}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.2}De functie $\mu (t)$}{43}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.3}De singulariteitenverzameling $S$}{45}
\contentsline {subsubsection}{De verzameling $S$ met ${\@mathrm A}$ golfachtig}{45}
\contentsline {subsubsection}{De verzameling $S$ met ${\@mathrm A}$ diffusieachtig}{47}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.4}Het existentie-interval en de functie $\mu (t)$ op haar maximale domein}{47}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.5}De functie $\beta (t)$ en de overige co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nten}{48}
\contentsline {subsubsection}{Een beginwaardeprobleem}{48}
\contentsline {subsubsection}{De definitie van de functie $\beta (t)$ en de overige co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nten}{48}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.6.6}De oplossing van het Cauchy-probleem in ${\bf GF}_+$}{50}
\contentsline {section}{\numberline {2.7}De propagator uitgedrukt in reeds gedefinieerde operatoren}{50}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{50}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.7.1}De operator ${\@mathcal T}_a$ als propagator}{50}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.7.2}De operatoren ${\@mathcal E}_a$ en ${\@mathcal S}_a$ als propagator}{52}
\contentsline {subsubsection}{De operator ${\@mathcal E}_a$}{52}
\contentsline {subsubsection}{De operator ${\@mathcal S}_a$}{53}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.7.3}De operator ${\@mathcal F}$ als propagator}{53}
\contentsline {section}{\numberline {2.8}De Schr\dutch@umlaut {o}dinger-vergelijking voor de harmonische oscillator}{54}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{54}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.8.1}De oplossing van een Cauchy-probleem voor de Schr\dutch@umlaut {o}dinger-ver\penalty \@M \hskip \z@skip \discretionary {-}{}{}\penalty \@M \hskip \z@skip gelijking}{55}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.8.2}Het verband met de Fourier-transformatie}{61}
\contentsline {chapter}{\numberline {3}Een aanzet tot een algebra\dutch@umlaut {\i }sche structuur op de ruimte ${\bf GF}$, aanbevelingen en conclusies}{62}
\contentsline {section}{Inleiding}{62}
\contentsline {section}{\numberline {3.1}Drie produkten}{62}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{62}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.1}Een scalair produkt op ${\bf GF}$}{63}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.2}Een puntprodukt op ${\bf GF}$}{65}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.3}Een convolutieprodukt op ${\bf GF}$}{66}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.4}Lodders ruimte ${\bf GF}_t$ als deelruimte van ${\bf GF}$}{67}
\contentsline {subsubsection}{Lodders ruimte ${\bf GF}_t$}{67}
\contentsline {subsubsection}{De structuur op ${\bf GF}$}{67}
\contentsline {section}{\numberline {3.2}De oplossing van het Cauchy-probleem voor een differentiaaloperator ${\@mathcal A}$ van eerste orde in de ruimte ${\bf GF}$, uitgedrukt in het puntprodukt}{67}
\contentsline {section}{\numberline {3.3}Aanbevelingen: Wegen naar eventuele scherpere resultaten}{71}
\contentsline {subsection}{Inleiding}{71}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.1}Een nieuw basiselement voor ${\bf GF}$}{71}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.2}Het omzeilen van singuliere punten}{72}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.3}Globale existentie onder zwakkere condities}{73}
\contentsline {section}{\numberline {3.4}Conclusies}{73}
\contentsline {chapter}{\numberline {A}De Hermite-polynomen}{74}
\contentsline {section}{\numberline {A.1}Definitie van Hermite-polynomen en Hermite-functies}{74}
\contentsline {section}{\numberline {A.2}Enige eigenschappen van de Hermite-polynomen}{74}
\contentsline {section}{\numberline {A.3}Twee ontwikkelingen naar Hermite-polynomen}{74}
\contentsline {chapter}{\numberline {B}De operator ${\@mathcal Q}$ en zijn inverse}{76}
\contentsline {section}{Inleiding}{76}
\contentsline {section}{\numberline {B.1}De operator ${\@mathcal T}$}{76}
\contentsline {section}{\numberline {B.2}De operator ${\@mathcal T}$ is begrensd}{78}
\contentsline {section}{\numberline {B.3}De operator ${\@mathcal T}$ is de inverse van ${\@mathcal Q}$}{80}
\contentsline {section}{\numberline {B.4}De operator ${\@mathcal Q}$ is positief}{86}
\contentsline {chapter}{\numberline {C}De existentie-stelling}{88}
\contentsline {section}{\numberline {C.1}Infinitesimaal-generatoren en hulp-operatoren}{88}
\contentsline {section}{\numberline {C.2}Existentie en \'{e}\'{e}nduidigheid}{88}
\contentsline {chapter}{\numberline {D}De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies en haar duale}{90}
\contentsline {section}{\numberline {D.1}De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies $\@mathsfsl {S}(\@mathbb {R})$}{90}
\contentsline {section}{\numberline {D.2}De ruimte der getemperde distributies $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{91}
\contentsline {section}{\numberline {D.3}Operatoren op $\@mathsfsl {S}(\@mathbb {R})$}{91}
\contentsline {section}{\numberline {D.4}Operatoren op $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{92}
\contentsline {subsection}{\numberline {D.4.1}Commutatie-eigenschappen van operatoren op $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{92}
\contentsline {subsection}{\numberline {D.4.2}Continu\dutch@umlaut {\i }teit van operatoren op $\@mathsfsl {S}'(\@mathbb {R})$}{94}
\contentsline {chapter}{\numberline {E}Het eigenwaarde-probleem voor de operator ${\@mathcal A}$ in ${\bf GF}$}{95}
\contentsline {section}{Inleiding}{95}
\contentsline {section}{\numberline {E.1}Een herformulering van het eigenwaarde-probleem in ${\bf GF}_+$ in algebra\dutch@umlaut {\i }sche termen}{95}
\contentsline {section}{\numberline {E.2}De oplossing van het algebra\dutch@umlaut {\i }sche probleem}{97}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.2.1}De co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nt\ $\mu $}{97}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.2.2}De co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nt\ $\beta $}{97}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.2.3}De eigenwaarde $\lambda $}{98}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.2.4}De overige co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nten\ $\upsilon _j$ van de eigenfunctie}{98}
\contentsline {subsubsection}{Enige eenvoudige gevallen}{98}
\contentsline {subsubsection}{Een criterium voor oplosbaarheid van het stelsel vergelijkingen voor de co\dutch@umlaut {e}ffici\dutch@umlaut {e}nten\ $\upsilon _j$}{98}
\contentsline {section}{\numberline {E.3}De oplossing van het eigenwaarde-probleem in ${\bf GF}$}{99}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.3.1}De deelruimte ${\bf GF}_-$}{99}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.3.2}Gevalsonderscheid: \relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax \ sterk of zwak van de eerste of van de tweede soort}{100}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.3.3}De oplossing in ${\bf GF}_+$}{100}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.3.4}De oplossing in ${\bf GF}_-$}{101}
\contentsline {section}{\numberline {E.4}De propagator ontwikkeld naar zijn eigenfuncties}{103}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.4.1}De propagator op ${\bf GF}$, met \relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax \ van de tweede soort}{103}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.4.2}De propagator op ${\bf GF}$, met \relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax \ van de eerste soort}{104}
\contentsline {subsubsection}{\relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax sterk van de eerste soort}{104}
\contentsline {subsubsection}{\relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax \ zwak van de eerste soort}{104}
\contentsline {subsection}{\numberline {E.4.3}Existentie van een eigenwaarde van ${\@mathcal A}$, met \relax $\@@underline {\hbox {$\alpha $}}\mathsurround \z@ $\relax \ van de tweede soort}{104}
\contentsline {subsubsection}{De propagator met ${\@mathrm A}$ diffusieachtig}{105}
\contentsline {subsubsection}{De propagator met ${\@mathrm A}$ golfachtig}{105}
\contentsline {chapter}{Bibliografie}{106}