Samenvatting

In dit verslag onderzoek ik de oplosbaarheid van het beginwaardeprobleem

\frac{∂}{∂t}u(x, t) = α_{2,0} \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} u(x, t) + (α_{1,1}x + α_{1,0})\frac{∂}{∂x}u(x, t)
+ α_{0,2}x^{2}u(x, t) + α_{0,1}xu(x, t) + α_{0,0}u(x, t)  (0.1)
u(x, 0) = ϕ(x)  (0.2)

waar α_{2,0}, ..., α_{0,0} ∈ ℂ en ϕ in zekere functieruimte. Voor zekere coëfficiënten α_{2,0}, ..., α_{0,0} is de evolutievergelijking 0.1 een Schrödinger-Diffusie-vergelijking. Ik noem de evolutievergelijking dan ‘golfachtig’ (als Re(α_{2,0}) = Im(α_{1,1}) = Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,2}) = Re(α_{0,1}) = 0) of ‘diffusieachtig’(als Re(α_{2,0}) ≥ δ > 0, Re(α_{0,2}) ≤ −δ en |Im(α_{1,1})| ≤ 2δ − ϵ < 2δ). In deze gevallen is, voor ϕ ∈ L_{2}(ℝ), existentie en éénduidigheid van de gegeneraliseerde oplossing aan te tonen met behulp van De Graafs existentie-stelling (zie voor deze stelling bijlage C). Het schatten van resolventen, wat nodig is om de Hille-Yosida Theorie toe te passen kan zo vermeden worden. Als de evolutievergelijking ‘golfachtig’ of ‘diffusieachtig’ is, dan kunnen we met deze stelling ook existentie en éénduidigheid van de oplossing aantonen voor ϕ in de ruimte der getemperde distributies S′(ℝ). Wanneer we, onder deze aanname, het beginwaardeprobleem schrijven als

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t)
u(0) = ϕ

met A = A(\underline{α}), dan heet A een infinitesimaal-generator. We kunnen de oplossing u(x, t) dan schrijven als u(t) = e^{tA}ϕ. Dit alles doe ik in hoofdstuk 1.

In hoofdstuk 2 beschouw ik een deelruimte GF van S′(ℝ). Deze deelruimte is gesloten onder Fourier-transformatie, differentiëren, transleren, en schalen. Ook is deze deelruimte, onder zekere voorwaarden op \underline{α} en t, gesloten onder e^{tA}. Voor ϕ ∈ GF is dan een expliciete uitdrukking van de oplossing van het Cauchy-probleem te geven.

In bijlage E los ik het eigenwaarde-probleem voor de operator A op GF op.

Voorwoord

Dit verslag is het resultaat van mijn arbeid in de lente en de zomer van 1996, en geschreven ter afronding van mijn Wiskunde-studie aan de Technische Universiteit Eindhoven. Ik heb in die periode kennisgemaakt met de theorie van infinitesimaal-generatoren en een glimp van de ‘symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies’ opgevangen. Erg mooie wiskunde, zoals de lezer spoedig zal merken.

Eenieder die mij tijdens mijn werk heeft geholpen door naar mijn enthousiaste verhalen over deze wiskunde te luisteren, wil ik daar op deze plaats hartelijk voor danken.

Voor eventuele nadere toelichting ben ik te bereiken: telefonisch: 040-2454479 en via e-mail: joostvb@win.tue.nl.

Joost van Baal, augustus 1996

Inhoudsopgave

Samenvatting i

Voorwoord ii

Inhoudsopgave v

Inleiding en preliminaria 1 Infinitesimaal-generatoren en de symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies … 1 Preliminaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 De evolutievergelijking in de ruimte der getemperde distributies 3 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 De operator A en de hulp-operator Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 De operator A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 De operator Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 De Hermite-basis van L_{2}(ℝ) en de matrix-representatie van de operator A . 5

1.2 De operator Q^{k} en de Hilbert-ruimten h_{k} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 De operator A als infinitesimaal-generator op de Hilbert-ruimten h_{k} . . . . . . . . 9

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 De eerste criteria voor de existentie-stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Golf- en diffusieachtige operatoren, twee afschattingen . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 De operator A_{k} is een infinitesimaal-generator . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Existentie en éénduidigheid van de oplossing van het Cauchy-probleem in S′(ℝ) . . 21 1.4.1 De propagator op rijtjesruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 Distributieruimten gerepresenteerd als rijtjesruimten . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Continuïteit van de propagator op distributieruimten . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 De propagator en het Cauchy-probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 De ruimte GF als invariante deelruimte 25

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 De operator A en de evolutievergelijking onder F, T_{a} en E_{a} . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Enige eigenschappen van de operator A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Differentieerbaarheid, enige eigenschappen van de propagator . . . . . . . . 27

2.2 De ruimte GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Operatoren op de ruimte GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 De operator F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 De operatoren P, D, X, T_{a}, E_{a} en S_{a} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 De operator A als operator op de ruimte GF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Een convergentie-begrip op GF, differentiëren binnen de ruimte GF . . . . . . . . 36 2.5 Oplossingen van het Cauchy-probleem in GF, uitgedrukt in oplossingen van een

Cauchy-probleem in GF_{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Een oplossing van het Cauchy-probleem in de ruimte GF_{+} . . . . . . . . . . . . . 39

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1 Een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.2 De functie μ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.3 De singulariteitenverzameling S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6.4 Het existentie-interval en de functie μ(t) op haar maximale domein . . . . . 47 2.6.5 De functie β(t) en de overige coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.6 De oplossing van het Cauchy-probleem in GF_{+} . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 De propagator uitgedrukt in reeds gedefinieerde operatoren . . . . . . . . . . . . . 50 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7.1 De operator T_{a} als propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7.2 De operatoren E_{a} en S_{a} als propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.3 De operator F als propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8 De Schrödinger-vergelijking voor de harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . . . 54 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.1 De oplossing van een Cauchy-probleem voor de Schrödinger-vergelijking . . 55 2.8.2 Het verband met de Fourier-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Een aanzet tot een algebraïsche structuur op de ruimte GF, aanbevelingen en conclusies 62 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1 Drie produkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1 Een scalair produkt op GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Een puntprodukt op GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.3 Een convolutieprodukt op GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.4 Lodders ruimte GF_{t} als deelruimte van GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 De oplossing van het Cauchy-probleem voor een differentiaaloperator A van eerste

orde in de ruimte GF, uitgedrukt in het puntprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Aanbevelingen: Wegen naar eventuele scherpere resultaten . . . . . . . . . . . . . . 71

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.1 Een nieuw basiselement voor GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2 Het omzeilen van singuliere punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 Globale existentie onder zwakkere condities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A De Hermite-polynomen 74 A.1 Definitie van Hermite-polynomen en Hermite-functies . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.2 Enige eigenschappen van de Hermite-polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.3 Twee ontwikkelingen naar Hermite-polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

B De operator Q en zijn inverse 76 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.1 De operator T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.2 De operator T is begrensd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 B.3 De operator T is de inverse van Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 B.4 De operator Q is positief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

C De existentie-stelling 88 C.1 Infinitesimaal-generatoren en hulp-operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 C.2 Existentie en éénduidigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 D De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies en haar duale 90

D.1 De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies S(ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . 90 D.2 De ruimte der getemperde distributies S′(ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 D.3 Operatoren op S(ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 D.4 Operatoren op S′(ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

D.4.1 Commutatie-eigenschappen van operatoren op S′(ℝ) . . . . . . . . . . . . . 92 D.4.2 Continuïteit van operatoren op S′(ℝ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

E Het eigenwaarde-probleem voor de operator A in GF 95 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 E.1 Een herformulering van het eigenwaarde-probleem in GF_{+} in algebraïsche termen 95 E.2 De oplossing van het algebraïsche probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

E.2.1 De coëfficiënt μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 E.2.2 De coëfficiënt β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 E.2.3 De eigenwaarde λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 E.2.4 De overige coëfficiënten υ_{j} van de eigenfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 98

E.3 De oplossing van het eigenwaarde-probleem in GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 E.3.1 De deelruimte GF_{−} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 E.3.2 Gevalsonderscheid: \underline{α} sterk of zwak van de eerste of van de tweede soort . . 100 E.3.3 De oplossing in GF_{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 E.3.4 De oplossing in GF_{−} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

E.4 De propagator ontwikkeld naar zijn eigenfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 E.4.1 De propagator op GF, met \underline{α} van de tweede soort . . . . . . . . . . . . . . 103 E.4.2 De propagator op GF, met \underline{α} van de eerste soort . . . . . . . . . . . . . . . 104 E.4.3 Existentie van een eigenwaarde van A, met \underline{α} van de tweede soort . . . . . 104

Bibliografie 106

Inleiding en preliminaria

Infinitesimaal-generatoren en de symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies

De symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies

In [L] presenteert J.J. Lodder ideeën over wat hij noemt de ‘symmetrische theorie der gegeneraliseerde functies’. In dit boek wordt onderzocht of er een niet-triviale deelruimte van de ruimte der getemperde distributies S′(ℝ) bestaat, die voorzien kan worden van een symmetrisch scalair produkt. Van dit scalair produkt wordt verlangt dat het zich, in zeker opzicht, gedraagt als een inprodukt. Verder wordt de vraag gesteld of deze deelruimte voorzien kan worden van een puntprodukt, dat een uitbreiding is van het bekende produkt (f···g)(x) = f(x)g(x), waar f en g zodanig dat iedere afgeleide van f en g polynomiaal begrensd is.

Deze theorie zou gebruikt kunnen worden als een alternatief voor de gangbare distributietheorie, zoals die beschreven staat in, bijvoorbeeld, [G&S], en toegepast kunnen worden in Quantum-Veld-Theorie.

In [L, Chapter 3, p. 21] introduceert Lodder een ‘Trivial Model’ GF_{t}. GF_{t} is een deelruimte van S′(ℝ), en bestaat uit eindige lineaire combinaties van de elementen x^{p} en \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x), p, q = 0, 1, 2, .... Deze ruimte is te voorzien van een scalair produkt en een puntprodukt. Deze produkten hebben gewenste eigenschappen.

De oplosbaarheid van een Cauchy-probleem, infinitesimaal-generatoren

Dit verslag gaat echter in eerste instantie niet over de symmetrische theorie, maar over de oplosbaarheid van een Cauchy-probleem. In hoofdstuk 1 onderzoek ik de oplosbaarheid van het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t)
u(0) = ϕ

met ϕ ∈ S′(ℝ) en

A = A(\underline{α}) = α_{2,0} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + (α_{1,1}x + α_{1,0})\frac{d}{dx} + α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0} .

De vraag: ‘Is dit Cauchy-probleem oplosbaar?’ is equivalent aan: ‘Is A een infinitesimaalgenerator?’ Voor zekere coëfficiënten \underline{α} blijkt A inderdaad een infinitesimaal-generator te zijn: Als A golfachtig (diffusieachtig) is, dan is A de infinitesimaal-generator van een één-parameter sterk continue (semi-)groep; de operatoren e^{tA}, t ≥ 0 (t ∈ ℝ), met, in sterke zin,

A = lim_{t↓0} \frac{1}{t}(e^{tA} − I) ,

voldoen aan: e^{tA} is begrensd, en

e^{(t+s)A} = e^{tA}e^{sA} ,  e^{0A} = I .

(Zie ook [Y, p. 231])

Het resultaat van hoofdstuk 1 is stelling 1.8, waar ik aantoon dat e^{tA}, onder zekere voorwaarden, continu is op S′(ℝ).

Een expliciete uitdrukkingen voor de oplossing van het Cauchy-probleem

We zijn echter ook geïnteresseerd in expliciete uitdrukkingen voor de oplossing van het Cauchyprobleem. Hiervoor gebruiken we ideeën uit de symmetrische theorie. We introduceren namelijk, in hoofdstuk 2 de ruimte GF. Deze ruimte is een uitbreiding van Lodders ruimte GF_{t}. Op de ruimte GF_{t} zijn, behalve de operatoren X, D en F, ook een scalair-, een punt-, en een convolutieprodukt gedefinieerd.

Onze ruimte GF is, voor zekere \underline{α} en t, gesloten onder e^{tA}, en voor ϕ ∈ GF is een expliciete uitdrukking voor de oplossing van het Cauchy-probleem te geven.

We zoeken zo’n uitdrukking, om de propagator e^{tA} op GF te kunnen beschrijven. Wanneer we er in slagen een betrekking van de vorm

e^{t_{1}A(\underline{α}_{1})}e^{t_{2}A(\underline{α}_{2})} = e^{t_{3}A(\underline{α}_{3})}

te construeren, waarbij we uitdrukkingen voor t_{3} en \underline{α}_{3} in t_{1}, t_{2} , \underline{α}_{1} en \underline{α}_{2} hebben, dan zijn we wellicht iets dichter bij een nieuwe representatie voor de Schrödinger-groep gekomen. Uiteindelijk zijn we geïnteresseerd in de vraag of het scalair produkt dat op de ruimte GF_{t} gedefinieerd is, zo uitgebreid kan worden tot de ruimte GF, dat e^{tA} ‘unitair’ is.

Preliminaria

Ruimten

Met ℕ bedoelen we de verzameling natuurlijke getallen {0, 1, 2, ...}. We schrijven, voor alle n ∈ ℕ\{0}, L_{2}(ℝ^{n}) voor de Lebesgue-ruimte op ℝ^{n}: L_{2}(ℝ^{n}) := L_{2}(ℝ^{n})/N(ℝ^{n}), met L_{2}(ℝ^{n}) de ruimte der meetbare functies f : ℝ^{n} → ℂ waarvoor geldt ∫_{ℝ^{n}} |f(x)|^{2}dx < ∞; en N(ℝ^{n}) de ruimte van functies f ∈ L_{2}(ℝ^{n}) waarvoor geldt ∫_{ℝ^{n}} |f(x)|^{2}dx = 0.

We schrijven C^{n}(ℝ) (C^{∞}(ℝ)) voor de vectorruimte van n keer (willekeurig vaak) continu differentieerbare functies f : ℝ → ℂ. Voor alle n ∈ ℕ schrijven we W_{2}^{n}(ℝ) voor de Sobolev-ruimte van orde n: f ∈ W_{2}^{n}(ℝ) betekent f ∈ L_{2}(ℝ), f ∈ C^{n−1}(ℝ), f^{(n−1)} is absoluut continu en f^{(n)} ∈ L_{2}(ℝ).

We schrijven verder S(ℝ) voor de Schwartz-ruimte van snel afnemende complexwaardige willekeurig vaak differentieerbare functies: f ∈ S(ℝ) betekent f ∈ C^{∞}(ℝ) en

∀_{n,p∈ℕ} sup_{x∈ℝ} |x|^{p}|\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)| < ∞ .

We schrijven S′(ℝ) voor de vectorruimte der getemperde distributies: continue lineaire functionalen op S(ℝ). (Zie ook bijlage D)

Operatoren

We schrijven F voor de Fourier-operator op L_{2}(ℝ):

(Ff)(y) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{ixy}f(x)dx ,

f ∈ L_{2}(ℝ). Verder, voor alle f ∈ W_{2}^{1}(ℝ),

Df := ∂f ,

waarbij ∂f staat voor de gegeneraliseerde afgeleide van zekere absoluut continue f. Voor alle f ∈ FW_{2}^{1}(ℝ) definiëren we

X f(x) := xf(x) .

Hoofdstuk 1

De evolutievergelijking in de ruimte der getemperde distributies

Inleiding

In dit hoofdstuk bewijzen we de unieke oplosbaarheid van het Cauchy-probleem

\frac{∂}{∂t}u(x, t) = α_{2,0} \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} u(x, t) + (α_{1,1}x + α_{1,0})\frac{∂}{∂x}u(x, t)
+ α_{0,2}x^{2}u(x, t) + α_{0,1}xu(x, t) + α_{0,0}u(x, t)
u(x, 0) = ϕ(x)

waar (α_{2,0}, ..., α_{0,0}) in zekere deelverzameling van ℂ^{6} en ϕ ∈ S′(ℝ).

In paragraaf 1.1 introduceren we de differentiaal-operator A, die in het rechterlid van de evolutievergelijking staat, en de bij A passende hulp-operator Q. In paragraaf 1.2 introduceren we een schaar van Hilbert-ruimten, waarop de matrix-representaties A en Q van de operatoren A en Q gedefinieerd zijn. In paragraaf 1.3 tonen we, met behulp van het criterium van de Graafs existentie-stelling (zie bijlage C), aan dat de operator A een infinitesimaal-generator is op alle ruimten h_{k}, waarbij Q als hulp-operator optreedt. In paragraaf 1.4 laten we zien dat de in bijlage D ingevoerde rijtjesruimte s′ te schrijven is als de inductieve limiet van de ruimten h_{k}. Met het ‘N-representatie theorema voor S′(ℝ)’ (zie bijlage D), volgt dat s′ de ruimte S′(ℝ) representeert. Met dit alles volgt, in paragraaf 1.4.4, existentie en éénduidigheid van de gegeneraliseerde oplossing.

1.1 De operator A en de hulp-operator Q

1.1.1 De operator A

Definitie 1.1 Voor alle u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), en voor alle

\underline{α} := (α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0}) ∈ ℂ^{6}

schrijven we

A(\underline{α})u := (α_{2,0}D^{2} + (α_{1,1}X + α_{1,0})D + α_{0,2}X^{2} + α_{0,1}X + α_{0,0})u .
□

Zij \underline{α} ∈ ℂ^{6}.

Lemma 1.1 A = A(\underline{α}), met D(A) = W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), is een dicht gedefinieerde operator in L_{2}(ℝ). Bewijs Er geldt W_{2}^{2}(ℝ)∩FW_{2}^{2}(ℝ) ⊂ L_{2}(ℝ). Verder, D(D^{2}) = W_{2}^{2}(ℝ), want u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) betekent ˘|_{x∈ℝ}∂^{2}u(x) ∈ L_{2}(ℝ) en D(X^{2}) = FW_{2}^{2}(ℝ), want u ∈ FW_{2}^{2}(ℝ) betekent ˘|_{x∈ℝ}x^{2}u(x) ∈ L_{2}(ℝ). Beschouw X D. Als u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), dan geldt

∫_{−∞}^{∞} |X Du|^{2}dx
≤ 2| ∫_{−∞}^{∞} X u\overline{Du}dx| + | ∫_{−∞}^{∞} X^{2}u\overline{D^{2}u}dx|

≤ 2\sqrt{∫_{−∞}^{∞} |X u|^{2}dx}\sqrt{∫_{−∞}^{∞} |Du|^{2}dx} + \sqrt{∫_{−∞}^{∞} |X^{2}u|^{2}dx}\sqrt{∫_{−∞}^{∞} |D^{2}u|^{2}dx}
< ∞ ,

i.e. X Du ∈ L_{2}(ℝ). Verder geldt: D(D) en D(X) zijn beide bevat in W_{2}^{2}(ℝ)∩FW_{2}^{2}(ℝ). We vinden: als u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), dan Au ∈ L_{2}(ℝ).

De deelruimte W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ) ligt dicht in L_{2}(ℝ). □

Eenvoudig is in te zien:

Lemma 1.2 De geadjungeerde van A, A^{∗}, wordt gegeven door de afsluiting van

\overline{α_{2,0}}D^{2} − \overline{α_{1,1}}X D − \overline{α_{1,0}}D + \overline{α_{0,2}}X^{2} + \overline{α_{0,1}}X + \overline{α_{0,0}} − \overline{α_{1,1}} .

Er geldt: D(A^{∗}) ⊃ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ). □

1.1.2 De operator Q

We introduceren Q en vatten de resultaten uit bijlage B samen.

Definitie 1.2 We schrijven voor alle f ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ)

Qf = (X^{2} − D^{2} + 1)f .
□

Er geldt Q = A(−1, 0, 0, 1, 0, 1). Dus met lemma 1.1 volgt

Lemma 1.3 Q, met D(Q) = W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), is een operator in L_{2}(ℝ). □

We schrijven, voor x ∈ ℝ,

erfcx := \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{x}^{∞} e^{−t^{2}}dt .

Stelling 1.1 De operator Q is inverteerbaar; de inverse Q^{−1}, met D(Q^{−1}) = L_{2}(ℝ), wordt gegeven door: voor alle f ∈ L_{2}(ℝ)

(Q^{−1}f)(x) = ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)f(y)dy .

met, voor alle (x, y) ∈ ℝ^{2} :

G(x, y) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(−x) erfcy & als x < y \\ \frac{1}{4} \sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfcx erfc(−y) & als x ≥ y . \end{matrix}

De operator Q^{−1} is een begrensde operator op L_{2}(ℝ). Bewijs Zie de stellingen B.2 en B.4 uit bijlage A. □

Stelling 1.2 De operator Q is een dicht gedefinieerde, strict positieve, inverteerbare operator in L_{2}(ℝ), met D(Q^{−1}) = L_{2}(ℝ) en D(Q) ⊂ D(A). Bewijs De bewering volgt met lemma 1.3 en de stellingen B.4 en B.5 uit bijlage A. □

1.1.3 De Hermite-basis van L_{2}(ℝ) en de matrix-representatie van de ope-

rator A

Volgens bijlage A geldt voor de Hermite-polynomen

H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}} , met n ∈ ℕ en x ∈ ℝ. We schrijven, c.f. bijlage A,

ψ_{n}(x) := (2^{n}n!\sqrt{π})^{− \frac{1}{2}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}}H_{n}(x) . Het theorema [T, p. 79, Th. 55] geeft nu: Stelling 1.3 De rij {ψ_{n}(x)|n ∈ ℕ} vormt een orthonormale basis in L_{2}(ℝ). □ Definitie 1.3 We schrijven, voor alle u ∈ L_{2}(ℝ),

(Uu)_{n} := (u, ψ_{n}) , met n ∈ ℕ. De aldus gedefiniëerde operator U is een unitaire operator U : L_{2}(ℝ) → l_{2}. □ Met stelling 1.3 volgt dat de ruimten L_{2}(ℝ) en l_{2} isomorf zijn. De operator U beschrijft dit isomorfisme. We schrijven voor alle u ∈ L_{2}(ℝ)

u_{n} = (Uu)_{n} .

Er geldt

(X^{2} − D^{2})ψ_{n}(x) = (2n + 1)ψ_{n}(x) ,  (1.1)

(zie [T, p. 77, (3.5.4)]) en dus

Qψ_{n} = 2(n + 1)ψ_{n} .  (1.2)

Overigens: Hiermee volgt een relatie tussen G(x, y) en ψ_{n}. Immers,

\frac{1}{2(j+1)}ψ_{j}(x) = Q^{−1}ψ_{j}(x)
= ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)ψ_{j}(y)dy

en dus, omdat {ψ_{j} | j ∈ ℕ} een orthonormale basis vormt,

G(x, y) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{2(j+1)}ψ_{j}(x)ψ_{j}(y) .

We geven de elementen a_{n,m} = (ψ_{n}, Aψ_{m}) van de matrix-representatie van de operator A = UAU^{−1}. Stelling 1.4 Er geldt, voor (n, m) ∈ ℕ^{2},

a_{n,m} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} \sqrt{m}\sqrt{m − 1}(α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2}) & (n = m − 2) \\ \frac{1}{2} \sqrt{2m}(α_{1,0} + α_{0,1}) & (n = m − 1) \\ (m + \frac{1}{2})(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0} & (n = m) \\ \frac{1}{2} \sqrt{2m + 2}(−α_{1,0} + α_{0,1}) & (n = m + 1) \\ \frac{1}{2} \sqrt{m + 1}\sqrt{m + 2}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2}) & (n = m + 2) \\ 0 & (anders,) \end{matrix}

of, in matrix-notatie,

A = (−\frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0}) ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 0 & ... \\ ... & 0 & 1 & 0 & ... \\ & ... & 0 & 1 & ... \\ & & ... & ... & ... & ... \\ & & & ... & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}(−α_{2,0} + α_{0,2}) ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & 3 & 0 & ... \\ ... & 0 & 5 & 0 & ... \\ & ... & 0 & 7 & ... \\ & & ... & ... & ... & ... \\ & & & ... & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}α_{1,0} ( \begin{matrix}0 & \sqrt{1} & 0 & ... \\ −\sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & −\sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & 0 & −\sqrt{3} & ... & \sqrt{4} & ... \\ & ... & 0 & −\sqrt{4} & & ... \\ & & & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}α_{0,1} ( \begin{matrix}0 & \sqrt{1} & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & 0 & \sqrt{3} & ... & \sqrt{4} & ... \\ & ... & 0 & \sqrt{4} & & ... \\ & & & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}α_{1,1} ( \begin{matrix}0 & 0 & \sqrt{1}\sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & ... \\ −\sqrt{1}\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}\sqrt{4} & 0 \\ 0 & −\sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & ... & ... & ... \\ ... & 0 & ... & ... \\ & & ... & ... \end{matrix} ) .

+ \frac{1}{2}(α_{2,0} + α_{0,2}) ( \begin{matrix}0 & 0 & \sqrt{1}\sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & ... \\ \sqrt{1}\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}\sqrt{4} & 0 \\ 0 & \sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & ... & ... & ... \\ ... & 0 & ... & ... \\ & & ... & ... \end{matrix} ) .

Bewijs We beschouwen de creatie-operator X −D en de annihilatie-operator X +D en berekenen (X − D)ψ_{n} en (X + D)ψ_{n}. We definiëren ψ_{−1} := 0. Er geldt, voor n ∈ ℕ,

Dψ_{n} = X ψ_{n} − \sqrt{2n + 2}ψ_{n+1} .  (1.3)

Nu geldt (zie [A&S, (22.7.13), p. 782]), voor alle x ∈ ℝ,

H_{n+1}(x) − 2xH_{n}(x) + 2nH_{n−1}(x) = 0 .

Voor de functies ψ_{n} betekent dit

\sqrt{2n + 2}ψ_{n+1} − 2X ψ_{n} + \sqrt{2n}ψ_{n−1} = 0 ,

zodat we met 1.3 vinden

Dψ_{n} = −X ψ_{n} + \sqrt{2n}ψ_{n−1} .

We concluderen: voor n ∈ ℕ geldt

(X − D)ψ_{n} = \sqrt{2n + 2}ψ_{n+1} ,  (1.4)
(X + D)ψ_{n} = \sqrt{2n}ψ_{n−1} .  (1.5)

Met dit stelsel vinden we, voor n ∈ ℕ,

X ψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{2n}ψ_{n−1} + \frac{1}{2} \sqrt{2n + 2}ψ_{n+1} ,  (1.6)
X^{2}ψ_{0} = \frac{1}{2}ψ_{0} + \frac{1}{2} \sqrt{2}ψ_{2} ,  (1.7)
X^{2}ψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{n}\sqrt{n − 1}ψ_{n−2} + (n + \frac{1}{2})ψ_{n} + \frac{1}{2} \sqrt{n + 1}\sqrt{n + 2}ψ_{n+2} ,  (n ≥ 1)  (1.8)
Dψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{2n}ψ_{n−1} − \frac{1}{2} \sqrt{2n + 2}ψ_{n+1} ,  (1.9)
D^{2}ψ_{0} = −\frac{1}{2}ψ_{0} − \frac{1}{2} \sqrt{2}ψ_{2} ,  (1.10)
D^{2}ψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{n}\sqrt{n − 1}ψ_{n−2} − (n + \frac{1}{2})ψ_{n} + \frac{1}{2} \sqrt{n + 1}\sqrt{n + 2}ψ_{n+2} ,  (n ≥ 1)  (1.11)
X Dψ_{0} = \frac{1}{2}ψ_{0} + \frac{1}{2} \sqrt{2}ψ_{2} ,  (1.12)
X Dψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{n}\sqrt{n − 1}ψ_{n−2} − \frac{1}{2}ψ_{n} − \frac{1}{2} \sqrt{n + 1}\sqrt{n + 2}ψ_{n+2} .  (n ≥ 1)  (1.13)

Immers: De vergelijkingen 1.6 en 1.9 volgen uit het stelsel 1.4, 1.5. De vergelijkingen 1.8 en 1.11 volgen direct uit 1.6 en 1.9 respectievelijk, en zijn in overeenstemming met vergelijking 1.1. Vergelijking 1.13, als laatste volgt met 1.6 en 1.9. Met dit laatste stelsel kunnen we Aψ_{n} berekenen: Er geldt, voor n ∈ ℕ,

Aψ_{0} = (\frac{1}{2}(−α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2}) + α_{0,0})ψ_{0} + \frac{1}{2} \sqrt{2}(−α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{1}
+ \frac{1}{2} \sqrt{2}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{2} .
Aψ_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{n}\sqrt{n − 1}(α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{n−2} + \frac{1}{2} \sqrt{2n}(α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{n−1}
+ ((n + \frac{1}{2})(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})ψ_{n}
+ \frac{1}{2} \sqrt{2n + 2}(−α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{n+1}
+ \frac{1}{2} \sqrt{n + 1}\sqrt{n + 2}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{n+2} (n ≥ 1) .

Dit geeft de gevraagde uitdrukking voor de elementen a_{n,m}. □

1.2 De operator Q^{k} en de Hilbert-ruimten h_{k}

Definitie 1.4 We definiëren, voor alle n ∈ ℕ, de operator Q^{n} in L_{2}(ℝ) door

Q^{n}ψ_{j} = 2^{n}(j + 1)^{n}ψ_{j} ,

i.e.

UQ^{n}U^{−1} = 2^{n} ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & 2^{n} & 0 & ... \\ ... & 0 & 3^{n} & 0 & ... \\ & ... & 0 & 4^{n} & ... \\ & & ... & ... & ... \end{matrix} ) ,

met D(Q^{n}) = {v ∈ L_{2}(ℝ)|((j + 1)^{n}v_{j})_{j=0}^{∞} ∈ l_{2}}. De operator Q^{n} is een operator in L_{2}(ℝ). □

Definitie 1.5 We definiëren, voor alle n ∈ ℕ, de operator Q^{−n} door

Q^{−n}ψ_{j} = 2^{−n}(j + 1)^{−n}ψ_{j} ,

i.e.

UQ^{−n}U^{−1} = 2^{−n} ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & \frac{1}{2^{n}} & 0 & ... \\ ... & 0 & \frac{1}{3^{n}} & 0 & ... \\ & ... & 0 & \frac{1}{4^{n}} & ... \\ & & ... & ... & ... \end{matrix} ) ,

met D(Q^{−n}) = L_{2}(ℝ). We schrijven ℂ^{ℕ} voor de vectorruimte van alle rijtjes complexe getallen. Omdat \{\underline{v} ∈ ℂ^{ℕ}|(\frac{v_{j}}{(j+1)^{n}})_{j=0}^{∞} ∈ l_{2}\} ⊃ l_{2}, is de operator Q^{−n} een operator op L_{2}(ℝ). □

Deze definities zijn zinvol; voor alle k, l ∈ ℤ geldt

Q^{k}Q^{l} = Q^{k+l} .

Lemma 1.4 Beschouw l_{2} als een deelruimte van de vectorruimte ℂ^{ℕ}. De operatoren UAU^{−1} en UQ^{k}U^{−1}, k ∈ ℤ, zijn uit te breiden tot operatoren op ℂ^{ℕ}. We geven deze uitbreidingen aan met A en Q^{k}. De operator Q^{k} beeldt nu \{\underline{v} ∈ ℂ^{ℕ}|((j + 1)^{k}v_{j})_{j=0}^{∞} ∈ l_{2}\} af op l_{2}, i.e.

(Q^{k})^{←}(l_{2}) = \{\underline{v} ∈ ℂ^{ℕ}|((j + 1)^{k}v_{j})_{j=0}^{∞} ∈ l_{2}\} .

Bewijs Eenvoudig in te zien: Immers, UAU^{−1} en UQ^{k}U^{−1} zijn voor te stellen door n-diagonaalse matrices, met n eindig. □

Ter illustratie dit schema: voor k ≥ 0:

(Q^{k})^{←}(l_{2}) ⊂  l_{2}
↓Q^{k} ↑Q^{−k}
l_{2}  ⊂ (Q^{−k})^{←}(l_{2})

Zij nu k ∈ ℤ.

Definitie 1.6 We definiëren de sesquilineaire vorm (·, ·)_{k} op (Q^{k})^{←}(l_{2}) × (Q^{k})^{←}(l_{2}) door

(u, v)_{k} := (Q^{k}u, Q^{k}v)_{l_{2}} ,

met u, v ∈ (Q^{k})^{←}(l_{2}), en waar (·, ·)_{l_{2}} staat voor het inprodukt op l_{2}. Met de inverteerbaarheid van Q^{k} is eenvoudig in te zien dat deze sesquilineaire vorm een inprodukt is. □

Definitie 1.7 We definiëren de inprodukt-ruimte h_{k} door

h_{k} := ((Q^{k})^{←}(l_{2}), (·, ·)_{k}) .
□

Bedenk dat h_{0} = l_{2} en dat h_{k+1} ⊂ h_{k}. Er geldt, voor n ∈ ℕ,

h_{n} ⊂ l_{2} ⊂ h_{−n} .

Zo’n drietal heet een Gelfand-tripel.

Lemma 1.5 De rij \underline{u}_{j} in h_{k} is convergent in h_{k}-zin, met limiet 0, dan en slechts dan als voor alle l ∈ ℕ (\underline{u}_{j})_{l} → 0 Bewijs ‘dan als’ Flauw.

‘slechts dan als’ Zij de rij (\underline{u}_{j})_{j∈ℕ} convergent in h_{k} met limiet 0. I.e. ∥\underline{u}_{j}∥_{k}^{2} = 2^{2k} ∑_{l} l^{2k}(\underline{u}_{j})_{l}^{2} → 0 (j → ∞). We zien dat dan geldt, voor alle l ∈ ℕ, lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l} = 0. □

Stelling 1.5 De inproduktruimte h_{k} is een Hilbert-ruimte. Bewijs Zij de rij (u_{j})_{j∈ℕ} een Cauchy-rij in h_{k}. Dan is (Q^{k}u_{j})_{j∈ℕ} een Cauchy-rij in l_{2}, en dus convergent met limiet zeg f ∈ l_{2}. Er is dus een u ∈ (Q^{k})^{←}(l_{2}), zeg u, zodanig dat Q^{k}u = f. Dan ∥u_{j} − u∥_{k} = ∥Q^{k}u_{j} − f∥ → 0. We concluderen: h_{k} is een Hilbertruimte. □

1.3 De operator A als infinitesimaal-generator op de Hilbert-ruimten h_{k}

Inleiding

In deze paragraaf voeren we de operatoren A_{k}(\underline{α}) in en bewijzen we dat, onder zekere voorwaarden op \underline{α}, de afsluiting \overline{A}_{k} een infinitesimaal-generator is. De operator A_{k} zal dicht gedefinieerd zijn in de Hilbert-ruimte h_{k}. Wanneer we, om te bewijzen dat \overline{A}_{k} een infinitesimaal-generator is, gebruik maken van de Hille-Yosida Theorie, moeten we bewijzen dat de resolvente (I − n^{−1}A_{k})^{−1} bestaat voor alle n ∈ ℕ, n > 0, en dat er een C > 0 is zodat voor alle n, m ∈ ℕ, n, m > 0 geldt ∥(I − n^{−1}A_{k})^{−m}∥ ≤ C. (Zie [Y, Theorem, p. 246, en Corollary 1, p. 248].) Deze voorwaarde is nodig en voldoende, en dus ook erg moeilijk te verifiëren.

Een hanteerbare voldoende voorwaarde wordt geleverd door de existentie-stelling. We bewijzen dat, onder zekere voorwaarden op de coëfficiënten \underline{α}, A_{k} aan de criteria voor deze existentie-stelling voldoet, en dus dat \overline{A}_{k} een infinitesimaal-generator is.

1.3.1 De eerste criteria voor de existentie-stelling

Zij k ∈ ℤ.

Definitie 1.8 We definiëren de operatoren A_{k} = A_{k}(\underline{α}) en Q_{k}, met D(A_{k}(\underline{α})) = D(Q_{k}) = (Q^{k+1})^{←}(l_{2}), terwijl verder, voor alle v ∈ D(Q_{k}), A_{k}v = Av en Q_{k}v = Qv. De operatoren A_{k} en Q_{k} zijn operatoren in h_{k}. □

Lemma 1.6 Er geldt: Q_{k} is een dicht gedefinieerde, strict positieve, inverteerbare operator in h_{k}, en D(Q_{k}^{−1}) = h_{k}. Bewijs Er geldt: Q_{k} is dicht gedefinieerd. Immers: Zij ϵ > 0 en zij \underline{u} ∈ h_{k} = (Q^{k})^{←}(l_{2}). Dan Q^{k}\underline{u} ∈ l_{2}. Omdat, volgens stelling 1.2, D(Q) dicht ligt in L_{2}(ℝ), is er nu een \underline{f} ∈ Q^{←}(l_{2}), zeg \underline{f}, zodanig dat ∥Q^{k}\underline{u} − \underline{f}∥ < ϵ. Er is nu een v ∈ (Q^{k+1})^{←}(l_{2}) = D(Q_{k}), zeg v, zodanig dat \underline{f} = Q^{k}v. Er geldt:

∥\underline{u} − v∥_{k} = ∥Q^{k}\underline{u} − \underline{f}∥ < ϵ .

We bewijzen dat Q_{k} strict positief is. Omdat Q zelfgeadjungeerd is, geldt voor alle \underline{v} ∈ D(Q_{k}), en alléén voor \underline{v} ∈ D(Q_{k}), dat

(Q_{k}\underline{u}, \underline{v})_{k} = (QQ^{k}\underline{u}, Q^{k}\underline{v})_{l_{2}}
= (\underline{u}, Q_{k}\underline{v})_{k}

voor alle \underline{u} ∈ D(Q_{k}). Dus Q_{k} is zelfgeadjungeerd. Zij nu \underline{u} ∈ D(Q_{k}), \underline{u} ≠ 0. Dan

(\underline{u}, Q_{k}\underline{u})_{k} = (Q^{k}\underline{u}, Q^{k+1}\underline{u})
= 2^{2k+1} ∑_{j=0}^{∞} j^{2k+1}|u_{j}|^{2}
> 0 .

Als laatste: De operator Q is volgens stelling 1.2 inverteerbaar op Q^{←}(L_{2}(ℝ)), met D(Q^{−1}) = L_{2}(ℝ), dus ook Q_{k} is inverteerbaar, met D(Q_{k}^{−1}) = h_{k}. □

Lemma 1.7 De operator A_{k} is afsluitbaar. Bewijs Zij de rij (\underline{u}_{j})_{j∈ℕ} convergent in h_{k} met limiet 0. Dan geldt, met lemma 1.5, voor alle l ∈ ℕ, lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l} = 0. Zij nu ook de rij (A_{k}\underline{u}_{j})_{j∈ℕ} convergent in h_{k}. We beschouwen (lim_{j→∞} A\underline{u}_{j})_{l}.

Er geldt, voor l ≥ 1

( lim_{j→∞} A\underline{u}_{j})_{l}

= lim_{j→∞}(A\underline{u}_{j})_{l}
= lim_{j→∞}\{\frac{1}{2} \sqrt{l}\sqrt{l − 1}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2})(\underline{u}_{j})_{l−2} + \frac{1}{2} \sqrt{2l}(−α_{1,0} + α_{0,1})(\underline{u}_{j})_{l−1}

+ ((l + \frac{1}{2})(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})(\underline{u}_{j})_{l}

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}\sqrt{l + 1}(α_{1,0} + α_{0,1})(\underline{u}_{j})_{l+1}

+ \frac{1}{2} \sqrt{l + 1}\sqrt{l + 2}(α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2})(\underline{u}_{j})_{l+2}\}

= \frac{1}{2} \sqrt{l}\sqrt{l − 1}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2}) lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l−2} + \frac{1}{2} \sqrt{2l}(−α_{1,0} + α_{0,1}) lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l−1}

+ ((l + \frac{1}{2})(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0}) lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l}

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}\sqrt{l + 1}(α_{1,0} + α_{0,1}) lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l+1}

+ \frac{1}{2} \sqrt{l + 1}\sqrt{l + 2}(α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2}) lim_{j→∞}(\underline{u}_{j})_{l+2}

= 0 ,

terwijl op dezelfde manier aan valt te tonen dat ook

( lim_{j→∞} A\underline{u}_{j})_{0} = 0 .

Met lemma 1.5 volgt hieruit lim_{j→∞} A_{k}\underline{u}_{j} = 0 in h_{k}-zin. We concluderen: A_{k} is afsluitbaar. □

De operator A_{k} is dicht gedefinieerd, dus met bovenstaand lemma en [W, Theorem 5.3, p. 90] volgt nu:

Lemma 1.8 De deelruimte D(A_{k}^{∗}) ligt dicht in h_{k}. □

1.3.2 Golf- en diffusieachtige operatoren, twee afschattingen

Golf- en diffusieachtige operatoren

Definitie 1.9 We noemen de operator A(\underline{α}) golfachtig als

Re(α_{2,0}) = Im(α_{1,1}) = Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,2}) = Re(α_{0,1}) = 0 .

We noemen de operator A(\underline{α}) diffusieachtig als

Re(α_{2,0}) ≥ δ > 0 , Re(α_{0,2}) ≤ −δ en |Im(α_{1,1})| ≤ 2δ − ϵ < 2δ .
□

Met lemma 1.2 is eenvoudig in te zien:

Lemma 1.9 Als A golfachtig is, dan zijn ook A^{∗} en −A golfachtig, en als A diffusieachtig is, dan is ook A^{∗} diffusieachtig. □

De termen ‘golfachtig’ en ‘diffusieachtig’ vereisen enige nadere toelichting.

Het volgende over de term ‘golfachtig’. Bedenk dat geldt: A(\underline{α}) is scheef-geadjungeerd, i.e. A^{∗} = −A, dan en slechts dan als A(\underline{α}) golfachtig is en Re(α_{1,1}) = 2Re(α_{0,0}). Als dus A(\underline{α}) golfachtig is, met Re(α_{1,1}) = 2Re(α_{0,0}), dan is de evolutievergelijking een Schrödinger-vergelijking. Als A(\underline{α}) in dit geval een eigenwaarde iω heeft, dan is ω zuiver reëel. Voor ϕ ∈ N(A − iωI) geldt dan dat het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u = Au
u(0) = ϕ

de oplossing u(t) = e^{iωt}ϕ heeft. Blijkbaar heeft het Cauchy-probleem dan oplossingen die periodiek zijn in t. (Zie ook bijlage E.)

Over de term ‘diffusieachtig’ merk ik het volgende op. Als alle coëfficiënten α_{i,j} zuiver reëel zijn, met α_{2,0} > 0 en α_{0,2} < 0, en A dus diffusieachtig is, dan is de evolutievergelijking een diffusievergelijking met een storing die dissipatie- en convectie-verschijnselen beschrijft. Voor het hoofddeel A_{h} = α_{2,0}D^{2} + α_{1,1}X D + α_{0,2}X^{2} geldt dan immers A_{h}^{∗} = A_{h} en A_{h} ≤ 0: A_{h} is negatief definiet. De voorwaarde ‘diffusieachtig’ is dus, zoals deze term al suggereert, zwakker dan ‘diffusie-’.

We zullen zien dat, als A golfachtig is, \overline{A_{k}} een infinitesimaal-generator is. In het speciale geval dat Re(α_{1,1}) = 2Re(α_{0,0}), volgt dit resultaat ook met de stelling van Stone. (Zie [W, Theorem 7.37, p. 220].) Immers, iA_{k} is dan zelf-geadjungeerd.

De matrix-representatie van Q^{k}AQ^{−k}, twee afschattingen

Zij vanaf nu \underline{α} zodanig dat de operator A(\underline{α}) golfachtig of diffusieachtig is. We bepalen de matrixrepresentatie van Q^{k}AQ^{−k}.

Lemma 1.10 Er geldt, voor alle k ∈ ℤ,

Q^{k}AQ^{−k}

= (−\frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0}) ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 0 & ... \\ ... & 0 & 1 & 0 & ... \\ & ... & 0 & 1 & ... \\ & & ... & ... & ... & ... \\ & & & ... & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}(−α_{2,0} + α_{0,2}) ( \begin{matrix}1 & 0 & ... \\ 0 & 3 & 0 & ... \\ ... & 0 & 5 & 0 & ... \\ & ... & 0 & 7 & ... \\ & & ... & ... & ... & ... \\ & & & ... & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}α_{1,0} ( \begin{matrix}0 & \sqrt{1}(\frac{1}{2})^{k} & 0 & ... \\ −\sqrt{1}2^{k} & 0 & \sqrt{2}(\frac{2}{3})^{k} & 0 & ... \\ 0 & −\sqrt{2}(\frac{3}{2})^{k} & 0 & \sqrt{3}(\frac{3}{4})^{k} & 0 & ... \\ ... & 0 & −\sqrt{3}(\frac{4}{3})^{k} & ... & \sqrt{4}(\frac{4}{5})^{k} & ... \\ & ... & 0 & −\sqrt{4}(\frac{5}{4})^{k} & & ... \\ & & & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}α_{0,1} ( \begin{matrix}0 & \sqrt{1}(\frac{1}{2})^{k} & 0 & ... \\ \sqrt{1}2^{k} & 0 & \sqrt{2}(\frac{2}{3})^{k} & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2}(\frac{3}{2})^{k} & 0 & \sqrt{3}(\frac{3}{4})^{k} & 0 & ... \\ ... & 0 & \sqrt{3}(\frac{4}{3})^{k} & ... & \sqrt{4}(\frac{4}{5})^{k} & ... \\ & ... & 0 & \sqrt{4}(\frac{5}{4})^{k} & & ... \\ & & & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}α_{1,1}

· ( \begin{matrix}0 & 0 & \sqrt{1}\sqrt{2}(\frac{1}{3})^{k} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}\sqrt{3}(\frac{2}{4})^{k} & 0 & ... \\ −\sqrt{1}\sqrt{2}3^{k} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}\sqrt{4}(\frac{3}{5})^{k} & 0 \\ 0 & −\sqrt{2}\sqrt{3}(\frac{4}{2})^{k} & 0 & ... & ... & ... \\ ... & 0 & ... & ... \\ & & ... & ... \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}(α_{2,0} + α_{0,2})

· ( \begin{matrix}0 & 0 & \sqrt{1}\sqrt{2}(\frac{1}{3})^{k} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}\sqrt{3}(\frac{2}{4})^{k} & 0 & ... \\ \sqrt{1}\sqrt{2}3^{k} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{3}\sqrt{4}(\frac{3}{5})^{k} & 0 \\ 0 & \sqrt{2}\sqrt{3}(\frac{4}{2})^{k} & 0 & ... & ... & ... \\ ... & 0 & ... & ... \\ & & ... & ... \end{matrix} ) .

Bewijs Er geldt:

Q^{k}AQ^{−k}ψ_{0}
= (\frac{1}{2}(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})ψ_{0} + \frac{1}{2} \sqrt{2}2^{k}(−α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{1}

+ \frac{1}{2} \sqrt{2}3^{k}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{2} , en, voor n ≥ 1,

Q^{k}AQ^{−k}ψ_{n}
= \frac{1}{2} \sqrt{n}(n − 1)^{k+ \frac{1}{2}} (n + 1)^{−k}(α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{n−2}
+ \frac{1}{2} \sqrt{2}n^{k+ \frac{1}{2}} (n + 1)^{−k}(α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{n−1}
+ ((n + \frac{1}{2})(−α_{2,0} + α_{0,2}) − \frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})ψ_{n}
+ \frac{1}{2} \sqrt{2}(n + 1)^{\frac{1}{2} −k}(n + 2)^{k}(−α_{1,0} + α_{0,1})ψ_{n+1}
+ \frac{1}{2}(n + 1)^{\frac{1}{2} −k}\sqrt{n + 2}(n + 3)^{k}(α_{2,0} − α_{1,1} + α_{0,2})ψ_{n+2} .

Dit geeft de matrix. □

We schatten Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) tegen (\underline{v}, \underline{v}) en Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) tegen (Q\underline{v}, \underline{v}). Daarbij maken we gebruik van het volgende trucje: Als (·, ·) een inprodukt is, dan geldt voor alle u, v en voor alle λ > 0:

2|Re(u, v)| ≤ λ^{2}∥u∥^{2} + \frac{1}{λ^{2}} ∥v∥^{2} .

(Immers, ∥λu − \frac{1}{λ}v∥^{2} ≥ 0.)

Lemma 1.11 Er geldt voor alle k ∈ ℤ: Er is een b ≥ 0 zodanig dat voor alle \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}):

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) ≤ b(\underline{v}, \underline{v}) .

Bewijs Er geldt, voor \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}) ⊂ l_{2}: Q^{k}AQ^{−k}\underline{v} ∈ l_{2}, dus de uitdrukking in het lemma is zinvol.

Zij nu \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}). Met de matrix-representatie uit lemma 1.10 vinden we:

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})

= Re(∑_{n=0}^{∞} v_{n}\overline{(Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})_{n}})

= Re(∑_{n=0}^{∞} v_{n} ∑_{m=0}^{∞} \overline{(Q^{k}AQ^{−k})_{n,m}}\overline{v_{m}})

= \frac{1}{2} ∑_{n=2}^{∞} \frac{\sqrt{n}(n+1)^{k}}{(n−1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{α_{2,0}} − \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})\overline{v_{n−2}}v_{n}]

+ \frac{1}{2} \sqrt{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n+1)^{k}}{n^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{−α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})\overline{v_{n−1}}v_{n}]

+ ∑_{n=0}^{∞} Re[((n + \frac{1}{2})(−\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{0,2}}) − \frac{1}{2} \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,0}})\overline{v_{n}}v_{n}]

+ \frac{1}{2} \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n+1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n+2)^{k}} Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]

+ \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n+3)^{k}} Re[(\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}}]

= S_{1} + S_{2} + S_{3} ,

met

S_{1} := \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{α_{2,0}} − \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})\overline{v_{n}}v_{n+2}]

+ \frac{\sqrt{n+2}(n+1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n+3)^{k}} Re[(\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}}]
S_{2} := \frac{1}{2} \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{(n+2)^{k}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(−\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})\overline{v_{n}}v_{n+1}]

+ \frac{(n+1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n+2)^{k}} Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]\}
S_{3} := ∑_{n=0}^{∞} Re[((n + \frac{1}{2})(−\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{0,2}}) − \frac{1}{2} \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,0}})\overline{v_{n}}v_{n}] .

We schatten S_{1}. Bedenk dat, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{\sqrt{n + 2}(n + 1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n + 3)^{k}} = \frac{\sqrt{n + 2}(n + 3)^{k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}}} + \sqrt{n + 2}\frac{(n + 1)^{2k} − (n + 3)^{2k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 3)^{k}} ,

terwijl, voor zekere C_{1} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

|\sqrt{n + 2}\frac{(n + 1)^{2k} − (n + 3)^{2k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 3)^{k}} | ≤ C_{1} ,

immers, de functie f : [0, ∞) → ℝ

f(x) := \sqrt{x + 2}\frac{(x + 1)^{2k} − (x + 3)^{2k}}{(x + 1)^{k− \frac{1}{2}} (x + 3)^{k}}

is continu, en, voor x → ∞

f(x) = −4k + O(x^{−1}) .

Hiermee vinden we

S_{1} ≤ ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Re(α_{2,0} + α_{0,2})Re(v_{n}\overline{v_{n+2}}) + Im(α_{1,1})Im(v_{n}\overline{v_{n+2}})\}

+ \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞} C_{1}|Re((\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}})| .

Nu geldt dat voor zekere C_{2} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{(n + 3)^{2k}}{(n + 1)^{2k−1}} ≤ n + C_{2} ,

immers, de functie g : [0, ∞) → ℝ

g(x) := \frac{(x + 3)^{2k}}{(x + 1)^{2k−1}}

is continu, en, voor x → ∞,

g(x) = x + O(1) .

We vinden

∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Re(α_{2,0} + α_{0,2})Re(v_{n}\overline{v_{n+2}}) + Im(α_{1,1})Im(v_{n}\overline{v_{n+2}})\}

≤ ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{1}{2}|Re(α_{2,0} + α_{0,2})|[(n + 2)|v_{n}|^{2} + (n + C_{2})|v_{n+2}|^{2}]
+ \frac{1}{2}|Im(α_{1,1})|[(n + 2)|v_{n}|^{2} + (n + C_{2})|v_{n+2}|^{2}]
= \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞}(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|)\{(n + 2)|v_{n}|^{2} + (n + C_{2})|v_{n+2}|^{2}\}

en dus

S_{1} ≤ \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞}(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|)\{(n + 2)|v_{n}|^{2} + (n + C_{2})|v_{n+2}|^{2}\}

+ \frac{1}{4} ∑_{n=0}^{∞} C_{1}|α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2}|(|v_{n}|^{2} + |v_{n+2}|^{2})

≤ ∑_{n=0}^{∞}{(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|)n + A_{1}}|v_{n}|^{2}

voor zekere A_{1} = A_{1}(k, \underline{α}) > 0.

Vervolgens schatten we S_{2}. Bedenk dat, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{(n + 1)^{k+ \frac{1}{2}}}{(n + 2)^{k}} = \frac{(n + 2)^{k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}}} + \frac{(n + 1)^{2k} − (n + 2)^{2k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 2)^{k}} ;

terwijl, voor zekere C_{3} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

|\frac{(n + 1)^{2k} − (n + 2)^{2k}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 2)^{k}} | ≤ C_{3} ,

immers, de functie h : [0, ∞) → ℝ

h(x) := \frac{(x + 1)^{2k} − (x + 2)^{2k}}{(x + 1)^{k− \frac{1}{2}} (x + 2)^{k}}

is continu, en

lim_{x→∞} |h(x)| = 0 .

Hiermee vinden we

S_{2} ≤ \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n+2)^{k}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Im(α_{1,0})Im(v_{n}\overline{v_{n+1}}) + Re(α_{0,1})Re(v_{n}\overline{v_{n+1}})\}

+ \frac{1}{2} \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} C_{3}|Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]| .

Voor alle λ > 0 geldt nu, omdat voor alle n ∈ ℕ:

\frac{(n + 2)^{2k}}{(n + 1)^{2k}} ≤ 4^{|k|} ,

dat

S_{2} ≤ \frac{1}{2} \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)((n + 1)λ^{2}|v_{n}|^{2} + \frac{4^{|k|}}{λ^{2}} |v_{n+1}|^{2})

+ \frac{1}{4} \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} C_{3}|α_{1,0} + α_{0,1}|(|v_{n}|^{2} + |v_{n+1}|^{2})

≤ ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{1}{2} \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)nλ^{2} + A_{2}\}|v_{n}|^{2}

voor zekere A_{2} = A_{2}(k, \underline{α}, λ) > 0.

Als laatste geldt, voor zekere A_{3} = A_{3}(\underline{α}) > 0,

S_{3} = ∑_{n=0}^{∞}\{(n + \frac{1}{2})Re(−α_{2,0} + α_{0,2}) + Re(−\frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})\}|v_{n}|^{2} .

= ∑_{n=0}^{∞}{Re(−α_{2,0} + α_{0,2})n + A_{3}}|v_{n}|^{2} .

Dit alles betekent

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})

= S_{1} + S_{2} + S_{3}
≤ ∑_{n=0}^{∞}\{[|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})| + \frac{1}{2} \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)λ^{2}
+ Re(−α_{2,0} + α_{0,2})]n + A_{1} + A_{2} + A_{3}}|v_{n}|^{2} .

Zij nu A diffusieachtig, i.e. voor zekere ϵ, δ > 0, Re(α_{2,0}) ≥ δ, Re(α_{0,2}) ≤ −δ en |Im(α_{1,1})| ≤ 2δ−ϵ. Dan geldt

2δ − 2Re(α_{2,0})  ≤ 0  ≤ −2δ − 2Re(α_{0,2}) ,
2δ + Re(α_{0,2} − α_{2,0}) ≤ Re(α_{0,2} + α_{2,0}) ≤ −2δ − Re(α_{0,2} − α_{2,0}) ,
0  ≤ 2δ − ϵ  ≤ −ϵ − Re(α_{0,2} − α_{2,0}) − |Re(α_{2,0} + α_{0,2})| ,

i.e.

|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})| + Re(−α_{2,0} + α_{0,2}) ≤ −ϵ .

Kies nu λ zo klein dat λ^{2} ≤ \frac{\sqrt{2}ϵ}{|Im(α_{1,0})|+|Re(α_{0,1})|}. Dan geldt

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ ∑_{n=0}^{∞}\{[−ϵ + \frac{1}{2} \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)λ^{2}]n + A_{1} + A_{2} + A_{3}\}|v_{n}|^{2}

≤ b ∑_{n=0}^{∞} |v_{n}|^{2}
= b(\underline{v}, \underline{v}) ,

met

b = A_{1} + A_{2} + A_{3} .

We beschouwen vervolgens Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) met Re(α_{2,0}) = Im(α_{1,1}) = Re(α_{0,2}) = 0. We vinden dan

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{1}{2} \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)λ^{2}n + A_{1} + A_{2} + A_{3}\}|v_{n}|^{2} .

Met Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,1}) = 0, i.e. A golfachtig, vinden we dan

Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})

≤ ∑_{n=0}^{∞}{A_{1} + A_{2} + A_{3}}|v_{n}|^{2}
= b(\underline{v}, \underline{v}) ,

met b = A_{1} + A_{2} + A_{3}. □ Lemma 1.12 Er geldt voor alle k ∈ ℤ: Er is een b ≥ 0 zodanig dat voor alle \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}):

Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) ≤ b(Q\underline{v}, \underline{v}) . Bewijs Zij \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}). Met lemma 1.10, en op dezelfde manier als in het bewijs van lemma 1.11, vinden we

Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})

= Re(∑_{n=0}^{∞}(Q\underline{v})_{n}\overline{(Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})_{n}})
= 2Re(∑_{n=0}^{∞}(n + 1)v_{n} ∑_{m=0}^{∞} \overline{(Q^{k}AQ^{−k})_{n,m}}\overline{v_{m}})
= ∑_{n=2}^{∞} \frac{\sqrt{n}(n+1)^{k+1}}{(n−1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{α_{2,0}} − \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})\overline{v_{n−2}}v_{n}]

+ \sqrt{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n+1)^{k+1}}{n^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{−α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})\overline{v_{n−1}}v_{n}]

+ 2 ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)Re[((n + \frac{1}{2})(−\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{0,2}}) − \frac{1}{2} \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,0}})\overline{v_{n}}v_{n}]

+ \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n+1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n+2)^{k}} Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]

+ ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n+3)^{k}} Re[(\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}}]

= S_{1} + S_{2} + S_{3} ,

met

S_{1} := ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k+1}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(\overline{α_{2,0}} − \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})\overline{v_{n}}v_{n+2}]
+ \frac{\sqrt{n+2}(n+1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n+3)^{k}} Re[(\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}}]\}
S_{2} := \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{(n+2)^{k+1}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} Re[(−\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})\overline{v_{n}}v_{n+1}]
+ \frac{(n+1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n+2)^{k}} Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]\}
S_{3} := 2 ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)Re[((n + \frac{1}{2})(−\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{0,2}}) − \frac{1}{2} \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,0}})\overline{v_{n}}v_{n}] .

We schatten S_{1}. Bedenk dat, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{\sqrt{n + 2}(n + 1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n + 3)^{k}} = \frac{\sqrt{n + 2}(n + 3)^{k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}}} + \sqrt{n + 2}\frac{(n + 1)^{2k+1} − (n + 3)^{2k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 3)^{k}} ,

terwijl, voor zekere C_{1} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

|\sqrt{n + 2}\frac{(n + 1)^{2k+1} − (n + 3)^{2k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 3)^{k}} | ≤ C_{1}n ,

immers, de functie f : [0, ∞) → ℝ

f(x) := \sqrt{x + 2}\frac{(x + 1)^{2k+1} − (x + 3)^{2k+1}}{(x + 1)^{k− \frac{1}{2}} (x + 3)^{k}}

is continu, en, voor x → ∞

f(x) = −2(2k + 1)x + O(1) .

Hiermee vinden we

S_{1} ≤ 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k+1}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Re(α_{2,0} + α_{0,2})Re(v_{n}\overline{v_{n+2}}) + Im(α_{1,1})Im(v_{n}\overline{v_{n+2}})\}

+ ∑_{n=0}^{∞} C_{1}n|Re((\overline{α_{2,0}} + \overline{α_{1,1}} + \overline{α_{0,2}})v_{n}\overline{v_{n+2}})| .

Schrijf nu

\frac{\sqrt{n + 2}(n + 3)^{k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}}} = \sqrt{n + 2}\sqrt{n + 1}\frac{(n + 3)^{k+1}}{(n + 1)^{k}}

en bedenk dat voor zekere C_{2} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{(n + 3)^{2k+2}}{(n + 1)^{2k}} ≤ n^{2} + C_{2}n ,

immers, de functie g : [0, ∞) → ℝ

g(x) := \frac{(x + 3)^{2k+2}}{(x + 1)^{2k}}

is continu, en, voor x → ∞,

g(x) = x^{2} + O(x) .

We vinden

2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n+2}(n+3)^{k+1}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Re(α_{2,0} + α_{0,2})Re(v_{n}\overline{v_{n+2}}) + Im(α_{1,1})Im(v_{n}\overline{v_{n+2}})\}

≤ 2 ∑_{n=0}^{∞}\{\frac{1}{2}|Re(α_{2,0} + α_{0,2})|[(n + 2)(n + 1)|v_{n}|^{2} + (n^{2} + C_{2}n)|v_{n+2}|^{2}]
+ \frac{1}{2}|Im(α_{1,1})|[(n + 2)(n + 1)|v_{n}|^{2} + (n^{2} + C_{2}n)|v_{n+2}|^{2}]
= ∑_{n=0}^{∞}(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|){(n^{2} + 3n + 2)|v_{n}|^{2} + (n^{2} + C_{2}n)|v_{n+2}|^{2}}

en dus

S_{1} ≤ ∑_{n=0}^{∞}(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|){(n^{2} + 3n + 2)|v_{n}|^{2} + (n^{2} + C_{2}n)|v_{n+2}|^{2}}

+ ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}C_{1}n|α_{2,0} + α_{1,1} + α_{0,2}|(|v_{n}|^{2} + |v_{n+2}|^{2})

≤ 2 ∑_{n=0}^{∞}{(|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})|)n^{2} + A_{1}(n + 1)}|v_{n}|^{2}

voor zekere A_{1} = A_{1}(k, \underline{α}) > 0.

Vervolgens schatten we S_{2}. Bedenk dat, voor alle n ∈ ℕ,

\frac{(n + 1)^{k+ \frac{3}{2}}}{(n + 2)^{k}} = \frac{(n + 2)^{k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}}} + \frac{(n + 1)^{2k+1} − (n + 2)^{2k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 2)^{k}} ;

terwijl, voor zekere C_{3} > 0, voor alle n ∈ ℕ,

|\frac{(n + 1)^{2k+1} − (n + 2)^{2k+1}}{(n + 1)^{k− \frac{1}{2}} (n + 2)^{k}} | ≤ C_{3}n ,

immers, de functie h : [0, ∞) → ℝ

h(x) := \frac{(x + 1)^{2k+1} − (x + 2)^{2k+1}}{(x + 1)^{k− \frac{1}{2}} (x + 2)^{k}}

is continu, en, voor x → ∞

h(x) = −(2k + 1)\sqrt{x} + O(x^{− \frac{1}{2}} ) .

Hiermee vinden we

S_{2} ≤ 2\sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n+2)^{k+1}}{(n+1)^{k− \frac{1}{2}}} \{Im(α_{1,0})Im(v_{n}\overline{v_{n+1}}) + Re(α_{0,1})Re(v_{n}\overline{v_{n+1}})\}

+ \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} C_{3}n|Re[(\overline{α_{1,0}} + \overline{α_{0,1}})v_{n}\overline{v_{n+1}}]| .

Voor alle λ > 0 geldt nu, omdat voor alle n ∈ ℕ:

\frac{(n + 2)^{2k+2}}{(n + 1)^{2k+1}} ≤ 4^{|k|+1}(n + 2) ,

dat,

S_{2} ≤ \sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)\{(n + 1)^{2}λ^{2}|v_{n}|^{2} + \frac{4^{|k|+1}}{λ^{2}} (n + 2)|v_{n+1}|^{2})

+ \frac{1}{2}\sqrt{2} ∑_{n=0}^{∞} C_{3}n|α_{1,0} + α_{0,1}|(|v_{n}|^{2} + |v_{n+1}|^{2})

≤ ∑_{n=0}^{∞}\{\sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)n^{2}λ^{2} + A_{2}(n + 1)\}|v_{n}|^{2}

voor zekere A_{2} = A_{2}(k, \underline{α}, λ) > 0.

Als laatste geldt, voor zekere A_{3} = A_{3}(\underline{α}) > 0,

S_{3} = 2 ∑_{n=0}^{∞}\{(n + 1)(n + \frac{1}{2})Re(−α_{2,0} + α_{0,2}) + (n + 1)Re(−\frac{1}{2}α_{1,1} + α_{0,0})\}|v_{n}|^{2}

= 2 ∑_{n=0}^{∞}{n^{2}Re(−α_{2,0} + α_{0,2}) + A_{3}(n + 1)}|v_{n}|^{2} .

Dit alles betekent

Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
= S_{1} + S_{2} + S_{3}
≤ ∑_{n=0}^{∞}\{[2|Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + 2|Im(α_{1,1})| + \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)λ^{2}

+ 2Re(−α_{2,0} + α_{0,2})]n^{2} + [A_{1} + A_{2} + A_{3}](n + 1)}|v_{n}|^{2} .

Als nu A diffusieachtig is, dan geldt op dezelfde gronden als in het bewijs van lemma 1.11, dat |Re(α_{2,0} + α_{0,2})| + |Im(α_{1,1})| + Re(−α_{2,0} + α_{0,2}) ≤ −ϵ < 0. Kies nu λ weer zo klein dat λ^{2} ≤ \frac{\sqrt{2}ϵ}{|Im(α_{1,0})|+|Re(α_{0,1})|}. Dan geldt

Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ 2 ∑_{n=0}^{∞}\{[−ϵ + \frac{1}{2} \sqrt{2}(|Im(α_{1,0})| + |Re(α_{0,1})|)λ^{2}]n^{2}
+ [A_{1} + A_{2} + A_{3}](n + 1)}|v_{n}|^{2}
≤ [A_{1} + A_{2} + A_{3}] ∑_{n=0}^{∞} 2(n + 1)|v_{n}|^{2}

= b ∑_{n=0}^{∞}(Q\underline{v})_{n}\overline{v}_{n}
= b(Q\underline{v}, \underline{v}) ,

met

b = A_{1} + A_{2} + A_{3} .

We beschouwen vervolgens Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v}) met A golfachtig, i.e. Re(α_{2,0}) = Re(α_{0,2}) = Im(α_{1,1}) = Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,1}) = 0. We vinden dan

Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ 2 ∑_{n=0}^{∞}[A_{1} + A_{2} + A_{3}](n + 1)|v_{n}|^{2} .
= b(Q\underline{v}, \underline{v}) ,

met b = A_{1} + A_{2} + A_{3}. □

1.3.3 De operator A_{k} is een infinitesimaal-generator

We zullen aan de drie voorwaarden uit definitie C.2 refereren met voorwaarde (1), voorwaarde (2) en voorwaarde (3).

Lemma 1.13 De operator A_{k}(\underline{α}) is een pre-infinitesimaal-generator op de ruimte h_{k} met hulpoperator Q_{k}. Bewijs Dat Q_{k} een dicht gedefinieerde, strict positieve, inverteerbare operator in h_{k} is, en dat D(Q_{k}^{−1}) = h_{k}, volgt met lemma 1.6. Dat voldaan is aan voorwaarde (1) volgt uit lemma 1.8.

We bewijzen dat voldaan is aan voorwaarde (2), en beschouwen daartoe, voor \underline{u} ∈ D(A_{k}), Re(\underline{u}, A_{k}\underline{u})_{k}. Schrijf Q^{k}\underline{u} = \underline{v}. Dan \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}). Er geldt, met lemma 1.11, voor zekere b ≥ 0,

Re(\underline{u}, A_{k}\underline{u})_{k} = Re(Q^{k}\underline{u}, Q^{k}A\underline{u})
= Re(\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ b(\underline{v}, \underline{v})
= b(\underline{u}, \underline{u})_{k} .

Als laatste bewijzen we dat voldaan is aan voorwaarde (3). We beschouwen, voor \underline{u} ∈ D(Q_{k}), Re(Q_{k}\underline{u}, A_{k}\underline{u})_{k}. We schrijven Q^{k}\underline{u} = \underline{v}. Dan \underline{v} ∈ Q^{←}(l_{2}). Er geldt, met lemma 1.12, voor zekere b ≥ 0

Re(Q_{k}\underline{u}, A_{k}\underline{u})_{k}
= Re(QQ^{k}\underline{u}, Q^{k}AQ^{−k}Q^{k}\underline{u})
= Re(Q\underline{v}, Q^{k}AQ^{−k}\underline{v})
≤ b(Q\underline{v}, \underline{v})
= b(Q^{k+1}\underline{u}, Q^{k}\underline{u})
= b(Q_{k}\underline{u}, \underline{u})_{k} .
□

Schrijf nu \overline{A}_{k} voor de door lemma 1.7 gegeven afsluiting van A_{k}. Dan geldt Stelling 1.6 De operator \overline{A}_{k}(\underline{α}) is een infinitesimaal-generator. □

1.4 Existentie en éénduidigheid van de oplossing van het Cauchy-probleem in S′(ℝ)

In deze paragraaf construeren we de propagator e^{tA}. Zij k ∈ ℤ en \underline{α} zodanig dat A(\underline{α}) golfachtig of diffusieachtig is. We definiëren

I\underline{α} := \{ \begin{matrix}(−∞, ∞) & als A(\underline{α}) golfachtig is, \\ [0, ∞) & als A(\underline{α}) diffusieachtig is. \end{matrix}

Zij nu t ∈ I\underline{α}.

1.4.1 De propagator op rijtjesruimten

De propagator op de ruimten h_{k} We schrijven vanaf nu A_{k} voor de operator \overline{A}_{k}(\underline{α}): de nieuwe A_{k} is de afsluiting van de oude A_{k}. Met lemma 1.9, stelling 1.6, lemma C.1 en de stelling C.3 volgt de stelling: Stelling 1.7 De operator e^{tA_{k}} is een begrensde operator op h_{k}. Dus ook: De operator e^{tA_{0}} is een begrensde operator op l_{2}. □ Omdat A_{k+1} ⊂ A_{k}, geldt: Lemma 1.14 Er geldt

e^{tA_{k+1}} ⊂ e^{tA_{k}} .

□

De propagator op de ruimte s Zij s als in definitie D.2. Lemma 1.15 Convergentie in s met betrekking tot de in lemma D.1 ingevoerde set van normen op s is equivalent aan convergentie met betrekking tot de set van normen op de ruimten h_{k}, k ∈ ℤ.

Bewijs Er geldt, voor n ∈ ℕ, \underline{u} ∈ h_{n},

∥\underline{u}∥_{n}^{2} = ∥Q^{n}\underline{u}∥
= 2^{2n} ∑_{j=0}^{∞}(j + 1)^{2n}|u_{j}|^{2}
= 2^{2n}∥\underline{u}∥_{s,n}^{2} .

Convergentie in h_{0}-zin impliceert convergentie met betrekking tot de set {∥ · ∥_{k} | k ≤ 0}. □

Lemma 1.16 Er geldt

s = ⋂_{k=−∞}^{∞} h_{k} .

Bewijs Zij u ∈ s. Dit betekent, voor alle k ∈ ℤ, ((j + 1)^{k}u_{j})_{j∈ℕ} ∈ l_{2}. I.e., met lemma 1.4, u ∈ ⋂_{k∈ℤ}(Q^{k})^{←}(l_{2}). □

Lemma 1.17 We vatten s op als deelruimte van h_{k}, voor zekere k. We schrijven e^{tA_{∞}} voor de beperking van de operator e^{tA_{k}} tot s. De operator e^{tA_{∞}} is continu op s. Bewijs Met lemma 1.14 volgt dat de definitie van e^{tA_{∞}} is onafhankelijk van de keuze van k. De operator is continu. Immers: Zij voor alle j ∈ ℕ \underline{u}_{j} ∈ s met \underline{u}_{j} → 0 (j → ∞). Dan geldt, voor alle k ∈ ℤ, \underline{u}_{j} ∈ h_{k}, en met stelling 1.7 voor alle k dat ∥e^{tA_{k}} \underline{u}_{j}∥_{k} → 0 (j → ∞), i.e. e^{tA_{∞}} \underline{u}_{j} → 0 in s-zin. □

De propagator op de ruimte s′

Zij s′ als in definitie D.5.

Lemma 1.18 Er geldt

s′ = ⋃_{k=−∞}^{∞} h_{k} .

Bewijs De bewering \underline{u} ∈ s′ betekent: Er is een p ∈ ℕ zodanig dat ((j + 1)^{−p}u_{j})_{j∈ℕ} ∈ l_{2}. Dit betekent: er is een p ∈ ℕ zodanig dat \underline{u} ∈ h_{−p}, i.e. \underline{u} ∈ ⋃_{k=−∞}^{∞} h_{k}. Immers ⋃_{k=1}^{∞} h_{k} ⊂ h_{0}. □

Lemma 1.19 Wanneer we s opvatten als deelruimte van s′, dan is de operator e^{tA_{∞}}, als operator in s′, continu uit te breiden tot de operator e^{tA_{−∞}} op s′. Bewijs Zij \underline{u} ∈ s′. Dan geldt, met lemma 1.18, voor zekere k, \underline{u} ∈ h_{k}. We schrijven e^{tA_{−∞}} \underline{u} = e^{tA_{k}} \underline{u}. De aldus gedefinieerde operator e^{tA_{−∞}} is een operator op s′. Triviaal is dat deze operator een uitbreiding van de operator e^{tA_{∞}} is.

Deze operator is continu. Immers: Zij, voor alle j ∈ ℕ, \underline{u}_{j} ∈ s′, \underline{u}_{j} → 0 in s′-zin, i.e. voor zekere k ∥u_{j}∥_{k} → 0. Dan, met stelling 1.7, ∥e^{tA}\underline{u}_{j}∥_{k} → 0, dus e^{tA}u_{j} → 0 in s′-zin. □

1.4.2 Distributieruimten gerepresenteerd als rijtjesruimten

We voeren de ruimten H_{k} in en representeren de ruimten H_{k}, S(ℝ) en S′(ℝ) door de rijtjesruimten h_{k}, s en s′.

De ruimten H_{k}

Definitie 1.10 We definiëren de functieruimte H_{k} als de verzameling

\{∑_{j=0}^{∞} u_{j}ψ_{j} | \underline{u} ∈ h_{k}\} .

Met stelling 1.5 volgt dat het inprodukt

(∑_{j=0}^{∞} u_{j}ψ_{j}, ∑_{l=0}^{∞} v_{l}ψ_{l}) := (\underline{u}, \underline{v})_{k}

de ruimte H_{k} tot een Hilbert-ruimte maakt. □

Zij U als in definitie 1.3. We kunnen deze operator nu uitbreiden tot een operator op H_{k}:

Lemma 1.20 We definiëren de operator U : H_{k} → h_{k} door

U ∑_{j=0}^{∞} u_{j}ψ_{j} := \underline{u} .

Deze operator is een uitbreiding van de reeds gedefinieerde U. Triviaal is dat deze operator unitair is. □

De ruimte S(ℝ)

Zij S(ℝ) als in definitie D.1. Met lemma 1.15 volgt:

Lemma 1.21 De operator U|_{S(ℝ)} is het topologisch isomorfisme dat in lemma D.1 geconstrueerd wordt. □

De ruimte S′(ℝ)

Zij S′(ℝ) als in definitie D.3. We kunnen nu, met lemma D.3 de operator U uitbreiden tot een operator op S′(ℝ):

Lemma 1.22 We schrijven, voor alle u ∈ S′(ℝ), (Uu)_{n} = ⟨u, ψ_{n}⟩, waar ⟨u, ψ_{n}⟩ staat voor de evaluatie van de functionaal u in ψ_{n}. Deze operator beeldt S′(ℝ) af op s′, en is een uitbreiding van de reeds gedefinieerde U. De operator U is het in lemma D.3 beschreven isomorfisme. □

Definitie 1.11 We noemen een rij (u_{n})_{n∈ℕ} ∈ S′(ℝ) in S′(ℝ)-zin convergent naar u ∈ S′(ℝ), dan en slechts dan als voor \underline{u}_{n} = Uu_{n} en \underline{u} = Uu geldt: voor zekere k ∈ ℤ geldt \underline{u}_{n} ∈ h_{k} voor alle n en \underline{u} ∈ h_{k}, terwijl ∥\underline{u}_{n} − \underline{u}∥_{k} → 0. □

Bedenk dat nu per definitie geldt:

Lemma 1.23 De rij (u_{n})_{n∈ℕ} convergeert in S′(ℝ)-zin naar u, dan en slechts dan als (\underline{u}_{n})_{n∈ℕ} in s′-zin naar \underline{u} convergeert, i.e. U : S′(ℝ) → s′ is continu. □

1.4.3 Continuïteit van de propagator op distributieruimten

Bovenstaande paragraaf geeft een bijectie tussen de twee door onderstaand schema aangegeven rijen van ruimten; we noemen zulke rijen Gelfand-rijen.

S(ℝ) ⊂ H_{n} ⊂ L_{2}(ℝ) ⊂ H_{−n} ⊂ S′(ℝ)
↓U ↓U ↓U ↓U ↓U
s ⊂ h_{n} ⊂ l_{2} ⊂ h_{−n} ⊂ s′

Definitie 1.12 We schrijven, voor −∞ ≤ k ≤ ∞, A_{k} = U^{−1}A_{k}U. Met het isomorfisme U volgt: De operator A_{∞} is een operator op S(ℝ), de operatoren A_{k} (k ∈ ℤ) zijn operatoren op H_{k} en de operator A_{−∞} is een operator op S′(ℝ). □

We vinden nu:

Stelling 1.8 We schrijven, voor −∞ ≤ k ≤ ∞, e^{tA_{k}} = U^{−1}e^{tA_{k}}U. Voor deze operatoren geldt nu: De operator e^{tA_{∞}} is een continue operator op S(ℝ); voor alle k ∈ ℤ is de operator e^{tA_{k}} een begrensde operator op H_{k}, (dus ook: de operator e^{tA_{0}} is een begrensde operator op L_{2}(ℝ)); en de operator e^{tA_{−∞}} is een continue operator op S′(ℝ). Bewijs Volgt direct met de lemmata 1.20, 1.21 en 1.23, de stelling 1.7 en de lemmata 1.17, en 1.19. □

1.4.4 De propagator en het Cauchy-probleem

We schrijven nu A voor de operator A_{−∞}, en dus ook e^{tA} voor de operator e^{tA_{−∞}}. Beschouw het Cauchy-probleem:

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t) ,  (1.14)
u(0) = ϕ

voor t ∈ I\underline{α}, en met ϕ ∈ S′(ℝ).

Zij ϕ ∈ H_{k}. We noemen een functie u(t) : I\underline{α} → H_{k} een gegeneraliseerde oplossing in H_{k} van dit Cauchy-probleem als u(t) voldoet aan \overline{S}u = 0, met \overline{S} als in stelling C.1, en lim_{t→0} u(t) = ϕ in H_{k}-zin.

Met stelling C.1 en stelling 1.8 vinden we nu:

Stelling 1.9 Zij ϕ ∈ H_{k}. We schrijven, voor alle t ∈ I\underline{α}, u(t) := e^{tA}ϕ. Er geldt: u(t) ∈ H_{k}, en u(t) is een (en de enige) gegeneraliseerde oplossing van het Cauchy-probleem in H_{k}. Verder geldt, voor zekere C > 0, ∥u(t)∥_{k} ≤ C∥ϕ∥_{k}. □

Lemma 1.24 Er geldt, voor −∞ ≤ k ≤ ∞, U^{−1}e^{tA_{k}}U = e^{tU^{−1}A_{k}U}. Bewijs Omdat A_{k} een infinitesimaal-generator is op h_{k}, is A_{k} een infinitesimaal-generator op H_{k}. De operator e^{tU^{−1}A_{k}U} = e^{tA_{k}} is dus wel-gedefinieerd. Met bovenstaande stelling volgt de gelijkheid. □

Zij ϕ ∈ S′(ℝ). Een functie u(t) : I\underline{α} → S′(ℝ) heet een stricte oplossing in S′(ℝ) = D(A) van het Cauchy-probleem als

- u(t) is in S′(ℝ)-zin continu in alle t ∈ I\underline{α},

- u(t) is in S′(ℝ)-zin differentieerbaar,

- \frac{d}{dt}u(t) = Au(t) en u(t) → ϕ in S′(ℝ)-zin voor t → 0.

Stelling 1.10 Zij ϕ ∈ S(ℝ). We schrijven, voor alle t ∈ I\underline{α}, u(t) := e^{tA}ϕ. Dan is u(t) een (en de enige) stricte oplossing van het Cauchy-probleem in S(ℝ). Bewijs Omdat ϕ ∈ S(ℝ), geldt \underline{ϕ} = Uϕ ∈ s, dus, met lemma 1.16, voor alle k ∈ ℤ, \underline{ϕ} ∈ h_{k+1} = (Q^{k+1})^{←}(l_{2}) = D(A_{k}). Dus ook \underline{ϕ} ∈ h_{k}. Omdat A_{k} een infinitesimaal-generator is in h_{k}, volgt, met stelling C.4: Voor de gegeneraliseerde oplossing \underline{u}(t), t ∈ I\underline{α}, van de evolutievergelijking in h_{k} geldt \underline{u}(t) ∈ D(A_{k}), (dus u(t) ∈ D(A_{−∞})) en \underline{u}(t) is voor alle t ∈ I\underline{α} continu differentieerbaar in h_{k}-zin. Met de stelling C.1 volgt: \underline{u}(t) → \underline{ϕ} in h_{k}-zin voor t → 0.

Beschouw nu u(t) = U^{−1}\underline{u}(t). Omdat \underline{u}(t) ∈ D(A_{−∞}) geldt u(t) ∈ D(A_{−∞}), en omdat \underline{u}(t) continu differentieerbaar is in h_{k}-zin voor alle k ∈ ℤ, is u(t) continu differentieerbaar in H_{k}-zin voor alle k ∈ ℤ. Dus u(t) is differentieerbaar in S(ℝ)-zin. Evenzo: u(t) → ϕ in S(ℝ)-zin voor t → 0. □

Stelling 1.11 Zij ϕ ∈ S′(ℝ). We schrijven, voor alle t ∈ I\underline{α}, u(t) := e^{tA}ϕ. Dan is u(t) een (en de enige) stricte oplossing van het Cauchy-probleem in S′(ℝ). Bewijs Omdat ϕ ∈ S′(ℝ), geldt, met lemma 1.22 \underline{ϕ} = Uϕ ∈ s′, dus, met lemma 1.18, voor zekere l ∈ ℤ, zeg k + 1, \underline{ϕ} ∈ h_{k+1} = (Q^{k+1})^{←}(l_{2}) = D(A_{k}). Dus ook \underline{ϕ} ∈ h_{k}. Omdat A_{k} een infinitesimaal-generator is in h_{k}, volgt, met stelling C.4: Voor de gegeneraliseerde oplossing \underline{u}(t), t ∈ I\underline{α}, van de evolutievergelijking in h_{k} geldt \underline{u}(t) ∈ D(A_{k}) ⊂ D(A_{∞}) en \underline{u}(t) is voor alle t ∈ I\underline{α} continu differentieerbaar in h_{k}-zin. Met de stelling C.1 volgt: \underline{u}(t) → \underline{ϕ} in h_{k}-zin voor t → 0.

Beschouw nu u(t) = U^{−1}\underline{u}(t). Omdat \underline{u}(t) ∈ D(A_{∞}) geldt u(t) ∈ D(A_{∞}) = D(A), en omdat \underline{u}(t) continu differentieerbaar is in h_{k}-zin, is u(t) continu differentieerbaar in H_{k}-zin. Dus u(t) is ook differentieerbaar in S′(ℝ)-zin. Evenzo: u(t) → ϕ in S′(ℝ)-zin voor t → 0. □

De ruimte GF als invariante deelruimte

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt een deelruimte van Gegeneraliseerde Functies GF van S′(ℝ) geïntroduceerd, waarvan we aan zullen tonen dat die invariant is onder de operator e^{tA(\underline{α})}, onder zekere voorwaarden op \underline{α}.

De introductie van deze deelruimte wordt voorafgegaan door enige opmerkingen over eigenschappen van de hier beschouwde evolutievergelijking, in paragraaf 2.1.

In paragraaf 2.2 construeren we GF. De ruimte GF is een uitbreiding van het Triviale Model GF_{t} van Lodder (zie [L, Chapter 3, p. 21]), een niet-genormeerde vectorruimte met een scalair produkt. In tegenstelling tot GF_{t}, is GF een ruimte waarin ook elementen die zich gedragen als functies van de vorm e^{−μx^{2}} bestaan, en waarop een schuifafbeelding T_{a} en een schaalafbeelding S_{a} gedefiniëerd is. De ruimte GF wordt opgespannen door de gegeneraliseerde functies x^{p}e^{−iβx−μx^{2}} en \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b).

In paragraaf 2.3 evalueren we de operatoren F, P, D, X, T_{a}, E_{a} en S_{a} op S′(ℝ) in de basiselementen van GF, en tonen we daarmee aan dat GF invariant is onder deze operatoren. Later zal blijken dat dit een nodige voorwaarde is voor geslotenheid van GF onder de actie van e^{tA}.

In paragraaf 2.4 wordt GF van een (zwak) convergentie-begrip voorzien, en definieer ik differentieerbaarheid van afbeeldingen ℂ → GF. Paragraaf 2.5 behandelt het Cauchy-probleem in GF, met de basis-elementen η_{(μ)}^{(j,β)} als beginvoorwaarde. In de paragraaf 2.6 lossen we de evolutievergelijking in GF op.

Paragraaf 2.7 handelt over het verband tussen de propagator e^{tA} en de operatoren T_{a}, E_{a}, S_{a} en F. Dit werpt enig licht op de keuze van de ruimte GF. In paragraaf 2.8 wordt de theorie toegepast op de Schrödinger-vergelijking voor de harmonische oscillator, met als beginconditie een delta-functie.

Voor de oplossing van het eigenwaarde-probleem voor de operator A op GF zij verwezen naar bijlage E.

Notatie

We geven natuurlijke getallen aan met p, q, en getallen in ℤ met j. Reële getallen geven we aan met a, b, c, d, x, y en complexe getallen met α, β, γ, μ, ν. We definiëren de Heaviside stapfunctie H door

H(x) = \{ \begin{matrix}1 & als x ≥ 0, \\ 0 & als x < 0. \end{matrix}

We introduceren de functie \sqrt{·} op ℂ: voor r ≥ 0 en −π < ϕ ≤ π,

\sqrt{re^{iϕ}} := \sqrt{r}e^{\frac{1}{2} iϕ} .

Met F, P, D, X, T_{a}, E_{a} en S_{a} geef ik de operatoren op S′(ℝ) aan zoals die zijn ingevoerd in bijlage D. Voordat we de ruimte GF introduceren, merken we nog het volgende op over de propagator onder F, T_{a} en E_{a}.

2.1 De operator A en de evolutievergelijking onder F, T_{a} en E_{a}

2.1.1 Enige eigenschappen van de operator A

Lemma 2.1 Er geldt

FA(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
= A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})F .

Bewijs Er geldt, met de vergelijkingen D.7 en D.8,

FA = α_{2,0}FD^{2} + α_{1,1}FX D + α_{1,0}FD + α_{0,2}FX^{2} + α_{0,1}FX + α_{0,0}F
= −α_{2,0}X^{2}F − α_{1,1}DX F − iα_{1,0}X F − α_{0,2}D^{2}F − iα_{0,1}DF + α_{0,0}F
= (−α_{2,0}X^{2} − α_{1,1}X D − iα_{1,0}X − α_{0,2}D^{2} − iα_{0,1}D + α_{0,0} − α_{1,1})F
= A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})F .
□

Lemma 2.2 Er geldt

T_{a}A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
= A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} − aα_{1,1}, α_{0,2}, α_{0,1} − 2aα_{0,2}, a^{2}α_{0,2} − aα_{0,1} + α_{0,0})T_{a} .

Bewijs Er geldt, omdat volgens de vergelijkingen D.10 en D.11 D en T_{a} commuteren, terwijl T_{a}X = (X − aI)T_{a}, dat

T_{a}A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
= α_{0,2}D^{2}T_{a} + α_{1,1}(X − aI)DT_{a} + α_{1,0}DT_{a}
+ α_{0,2}(X − aI)^{2}T_{a} + α_{0,1}(X − aI)T_{a} + α_{0,0}T_{a}
= (α_{0,2}D^{2} + α_{1,1}X D + (α_{1,0} − aα_{1,1})D
+ α_{0,2}X^{2} + (α_{0,1} − 2aα_{0,2})X + a^{2}α_{0,2} − aα_{0,1} + α_{0,0})T_{a}
= A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} − aα_{1,1}, α_{0,2}, α_{0,1} − 2aα_{0,2}, a^{2}α_{0,2} − aα_{0,1} + α_{0,0})T_{a} .
□

Lemma 2.3 Er geldt

E_{a}A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
= A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} + 2iaα_{0,2}, α_{0,2}, α_{0,1} + iaα_{1,1}, −a^{2}α_{0,2} + iaα_{1,0} + α_{0,0})E_{a} .

Bewijs Er geldt, omdat volgens de vergelijkingen D.18 en D.19 X en E_{a} commuteren, terwijl E_{a}D = (D + iaI)E_{a}, dat

E_{a}A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
= α_{0,2}(D + iaI)^{2}E_{a} + α_{1,1}X (D + iaI)E_{a} + α_{1,0}(D + iaI)E_{a}
+ α_{0,2}X^{2}E_{a} + α_{0,1}X E_{a} + α_{0,0}E_{a}
= (α_{0,2}D^{2} + α_{1,1}X D + (α_{1,0} + 2iaα_{0,2})D
+ α_{0,2}X^{2} + (α_{0,1} + iaα_{1,1})X − a^{2}α_{0,2} + iaα_{1,0} + α_{0,0})E_{a}
= A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} + 2iaα_{0,2}, α_{0,2}, α_{0,1} + iaα_{1,1}, −a^{2}α_{0,2} + iaα_{1,0} + α_{0,0})E_{a} .
□

2.1.2 Differentieerbaarheid, enige eigenschappen van de propagator

Definitie 2.1 Een afbeelding u(α) : ℂ → S′(ℝ) heet differentieerbaar (in S′(ℝ)-zin) in α_{0} ∈ ℂ als voor alle ϕ ∈ S(ℝ) de afbeelding ⟨u(α), ϕ⟩ : ℂ → ℂ differentieerbaar is in α_{0}. We schrijven dan, voor alle ϕ ∈ S′(ℝ),

⟨\frac{d}{dα}u(α), ϕ⟩|_{α=α_{0}} = \frac{d}{dα}⟨u(α), ϕ⟩|_{α=α_{0}} .
□

Deze definitie is in overeenstemming met het zwakke convergentiebegrip: Als u(α) : ℂ → S′(ℝ) differentieerbaar is in α_{0}, dan geldt, volgens [G&S, p. 149],

\frac{d}{dα}u(α_{0}) = lim_{α→α_{0}} \frac{u(α) − u(α_{0})}{α − α_{0}}

Met de lemmata 2.1, 2.2 en 2.3 is eenvoudig in te zien dat het volgende geldt:

Lemma 2.4 Zij a ∈ ℝ. Als A golfachtig, respectievelijk diffusieachtig is, dan zijn ook FAF^{−1}, T_{a}AT_{−a} en E_{a}AE_{−a} golfachtig, respektievelijk diffusieachtig. □

Verder geldt:

Lemma 2.5 Zij A golf- of diffusieachtig. Dan geldt, voor t ∈ I\underline{α},

Fe^{tA}F^{−1} = e^{tFAF^{−1}}
T_{a}e^{tA}T_{−a} = e^{tT_{a}AT_{−a}}
E_{a}e^{tA}E_{−a} = e^{tE_{a}AE_{−a}} .

Verder merken we op dat, voor alle T ≥ 0,

e^{(t+T)A} = e^{tA}e^{T A} .

Bewijs Zij R ∈ \{F, T_{a}, E_{a}\}. Als, voor t ∈ I\underline{α}, u(t) voldoet aan

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t) ,

dan voldoet Ru(t) op I\underline{α} aan

\frac{d}{dt}Ru(t) = RAR^{−1}Ru(t) ,

immers, R is continu, zoals in bijlage D is aangetoond, dus, omdat u(t) continu differentieerbaar is, is ook Ru(t) continu differentieerbaar; er geldt R\frac{d}{dt}u(t) = \frac{d}{dt}Ru(t). Verder geldt met lemma 2.4 dat de afbeelding A ↦ RAR^{−1} golf- en diffusieachtigheid behoudt.

Als, voor t ∈ I\underline{α}, u(t) oplossing is van

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t) ,
u(0) = ϕ;

dan geldt voor alle T ≥ 0 dat t + T ∈ I\underline{α}. Verder voldoet v(t) = u(t + T) aan

\frac{d}{dt}v(t) = Av(t) ,
v(0) = u(T) .
□

In paragraaf 2.7 zal blijken dat deze eigenschappen vermoedens doen rijzen over een groepsstructuur van de operatoren e^{tA} op de ruimte GF.

2.2 De ruimte GF

Definitie 2.2 We definiëren de lineaire functionaal δ: voor alle u ∈ S(ℝ)

⟨δ, u⟩ := \overline{u(0)} . Er geldt δ ∈ S′(ℝ), immers δ is lineair en zwak continu, wat eenvoudig is in te zien. □ We schrijven, net als in [G&S], \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − a) := D^{q}T_{a}δ, waar D en T_{a} als in bijlage D. Definitie 2.3 We definiëren de basiselementen η_{(μ)}^{(j,β)}:

η_{(μ)}^{(j,β)}(x) := \{ \begin{matrix}x^{p}e^{−iβx−μx^{2}} & als j = p + 1, en òf Re(μ) = 0 en β = b òf Re(μ) > 0, \\ \frac{1}{(−1)^{q}q!} \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b) & als j = −q, β = b en μ = 0, \\ 0 & anders, \end{matrix}

met β, μ ∈ ℂ, j ∈ ℤ, p, q ∈ ℕ en b ∈ ℝ. □ We schrijven η^{(−q,b)} voor het element η_{(0)}^{(−q,b)}. Er geldt, wellicht ten overvloede,

η_{(μ)}^{(p+1,β)} = x^{p}e^{−iβx−μx^{2}}
η^{(−q,b)} = \frac{1}{(−1)^{q}q!} \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b) .

We definiëren: Definitie 2.4 We definiëren de ruimte GF als de verzameling eindige lineaire combinaties van de basiselementen η_{(μ)}^{(j,α)}, j ∈ ℤ, α, μ ∈ ℂ. We geven elementen van GF aan met f, g, h. Iedere vector f ∈ GF is te schrijven als

f = ∑_{j=−p_{f}}^{p_{f}} ∑_{k=−p_{f}}^{p_{f}} ∑_{l=−p_{f}}^{p_{f}} β_{j,k,l}η_{(μ_{l})}^{(j,α_{k})} ,

met β_{j,k,l} ∈ ℂ. GF is, met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging, een vectorruimte over ℂ. □

We definiëren verder Definitie 2.5 We definiëren de ruimte GF_{+} als de verzameling eindige lineaire combinaties van de basiselementen η_{(μ)}^{(p+1,α)}, en de ruimte GF_{−} als de verzameling eindige lineaire combinaties van de basiselementen η^{(−q,a)}. □

We kunnen nu GF schrijven als de directe som

GF = GF_{+} + GF_{−}

Met ‘operator’ bedoelen we vanaf nu een operator òp GF.

Voor de complexe getallen μ en ν zal vanaf nu gelden: Re(μ) ≥ 0 en Re(ν) ≥ 0. (Behalve waar anders vermeld.)

Stelling 2.1 De ruimte GF ligt dicht in S′(ℝ). Bewijs We bewijzen eerst dat GF een deelruimte is van S′(ℝ). Dat de functionaal η_{(μ)}^{(j,α)} lineair

is, is triviaal. We bewijzen dat η_{(μ)}^{(j,α)} continu is. Als eerste beschouwen we η^{(−q,a)}. Omdat volgens de lemmata D.10 en D.11 D en T continu zijn, en omdat δ ∈ S′(ℝ), geldt dat ook

η^{(−q,a)} = \frac{1}{(−1)^{q}q!}D^{q}T_{a}δ

continu is. Vervolgens beschouwen we η_{(μ)}^{(p+1,α)}. Er geldt: η_{(μ)}^{(p+1,α)} ∈ C^{∞}(ℝ) en iedere n-de

afgeleide van η_{(μ)}^{(p+1,α)} is polynomiaal begrensd. Dan geldt, volgens [R&S 1, §V.3, Example 7, p.

137], η_{(μ)}^{(p+1,α)} ∈ S′(ℝ). We concluderen:η_{(μ)}^{(j,α)} ∈ S′(ℝ).

Vervolgens bewijzen we dat GF dicht ligt in S′(ℝ). Er geldt, volgens lemma D.3 dat de Hermite-functies ψ_{n} dicht liggen in S′(ℝ). Nu geldt, voor alle N ∈ ℕ,

⟨\{ψ_{n} | 0 ≤ n ≤ N\}⟩ = ⟨\{H_{n}(x)e^{− \frac{1}{2} x^{2}} | 0 ≤ n ≤ N\}⟩
= ⟨\{x^{n}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} | 0 ≤ n ≤ N\}⟩
= ⟨\{η_{( \frac{1}{2} )}^{(p+1,0)} | 0 ≤ p ≤ N\}⟩
⊂ GF ,

dus ook GF ligt dicht in S′(ℝ). □

2.3 Operatoren op de ruimte GF

We beperken het definitiegebied van de operatoren F, P, D, X , T_{a}, E_{a} en S_{a} tot GF ⊂ S′(ℝ), en schrijven F, P, D, X , T_{a}, E_{a} en S_{a} voor de beperkte operatoren. We evalueren deze lineaire afbeeldingen op de expressies η_{(μ)}^{(j,α)}, en tonen daarmee aan dat de ruimte GF invariant is onder deze operatoren.

2.3.1 De operator F

Lemma 2.6 Voor de operator F op GF geldt

Fη^{(−q,a)} = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}η_{(0)}^{(q+1,−a)} ,
Fη_{(0)}^{(p+1,a)} = \sqrt{2π}p!i^{p}η^{(−p,a)} ,

en, voor μ ≠ 0,

Fη_{(μ)}^{(p+1,α)} = i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})η_{( \frac{1}{4μ})}^{(k+1, \frac{iα}{2μ})} .

Bewijs Met [G&S, §§ 2.2.3 en 2.2.6, p. 162] vinden we

Fη^{(−q,0)} = \frac{1}{(−1)^{q}q!}F \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x) = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}x^{q} = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}η_{(0)}^{(q+1,0)} .

Nu is met de definitie’s van T_{a} en E_{a} eenvoudig in te zien dat

T_{a}η^{(−q,b)} = η^{(−q,a+b)} ,
E_{a}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = η_{(μ)}^{(p+1,a+β)} .

Met de vergelijking D.9 vinden we nu

Fη^{(−q,a)} = FT_{a}η^{(−q,0)} = E_{−a}Fη^{(−q,0)} = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}E_{−a}η_{(0)}^{(q+1,0)} = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}η_{(0)}^{(q+1,−a)} .

Dit geeft de eerste gelijkheid. De tweede gelijkheid volgt nu met

Pη_{(μ)}^{(p+1,α)} = (−1)^{p}η_{(μ)}^{(p+1,−α)} ,

wat eenvoudig is in te zien, en de vergelijkingen D.15 en D.5:

Fη_{(0)}^{(p+1,a)} = F^{−1}Pη_{(0)}^{(p+1,a)} = (−1)^{p}F^{−1}η_{(0)}^{(p+1,−a)} = \sqrt{2π}p!i^{p}η^{(−p,a)} .

Als laatste berekenen we, voor μ ≠ 0, Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}. Zij Re(μ) > 0. Bedenk dat nu η_{(μ)}^{(p+1,α)} ∈ S(ℝ), en dat we dus kunnen schrijven:

Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}(y) = (FX^{p}e^{−iαx−μx^{2}})(y)
= (−iD)^{p} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{i(y−α)x−μx^{2}}dx .

Bedenk nu dat, voor Re(μ) > 0, (zie [T])

∫_{−∞}^{∞} e^{αx−μx^{2}}dx = \begin{matrix}√ & \overline{π} \\ √ & \overline{μ} \end{matrix}e^{\frac{α^{2}}{4μ}} .

Hiermee vinden we dat

Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}(y)
= \frac{(−i)^{p}}{\sqrt{2μ}} \frac{d^{p}}{dy^{p}} e^{− \frac{(y−α)^{2}}{4μ}}
= (−i)^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p} \frac{d^{p}}{dx^{p}} e^{−x^{2}}|_{x= \frac{y−α}{2\sqrt{μ}}}
= i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p}H_{p}(\frac{y−α}{2\sqrt{μ}})e^{− \frac{(y−α)^{2}}{4μ}}

Nu geldt, met de lemmata A.1 en A.2, dat

H_{p}(\frac{y−α}{2\sqrt{μ}})
= 2^{−p}μ^{− \frac{1}{2} p} ∑_{k=0}^{[p/2]} \frac{p!}{k!(p−2k)!}(1 − 4μ)^{k}H_{p−2k}(y − α)

= 2^{−p}μ^{− \frac{1}{2} p} ∑_{k=0}^{[p/2]} ∑_{j=0}^{p−2k} \frac{p!}{k!(p−2k)!} \binom{p − 2k}{j}(1 − 4μ)^{k}(−2α)^{p−2k−j}H_{j}(y)

= 2^{−p}μ^{− \frac{1}{2} p} ∑_{j=0}^{p} \frac{p!}{j!}[ ∑_{k=0}^{[(p−j)/2]} \frac{1}{k!(p−2k−j)!}(1 − 4μ)^{k}(−2α)^{p−2k−j}]H_{j}(y) .

We herschrijven de laatste uitdrukking met

∑_{k=0}^{[(p−j)/2]} \frac{1}{k!(p−2k−j)!}(1 − 4μ)^{k}(−2α)^{p−2k−j}

= \frac{1}{(p−j)!}(4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} j} ∑_{k=0}^{[(p−j)/2]} \frac{(p−j)!}{k!(p−j−2k)!}(−1)^{k}(−\frac{2α}{\sqrt{4μ−1}})^{p−j−2k}
= \frac{1}{(p−j)!}(4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} j}H_{p−j}(−\frac{α}{\sqrt{4μ−1}})
=: a_{p,j}(α, μ) .

Nu geldt

∑_{j=0}^{p} \frac{p!}{j!}a_{p,j}(α, μ)H_{j}(y)

= ∑_{j=0}^{p} ∑_{l=0}^{[j/2]} \frac{p!}{l!(j−2l)!}(−1)^{l}a_{p,j}(α, μ)(2y)^{j−2l}

= ∑_{k=0}^{p} ∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{p!}{l!k!}(−1)^{l}a_{p,k+2l}(α, μ)(2y)^{k} ,

zodat

H_{p}(\frac{y−α}{2\sqrt{μ}})
= μ^{− \frac{1}{2} p} ∑_{k=0}^{p} ∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{p!}{l!k!}(−1)^{l}a_{p,k+2l}(α, μ)2^{k−p}y^{k} ,

en

Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}(y)
= i^{p}μ^{− \frac{1}{2} −p} ∑_{k=0}^{p} ∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{p!}{l!k!}(−1)^{l}a_{p,k+2l}(α, μ)2^{− \frac{1}{2} +k−2p}y^{k}e^{− \frac{(y−α)^{2}}{4μ}} .

We kunnen nu schrijven

∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{p!}{l!k!}(−1)^{l}a_{p,k+2l}(α, μ)2^{− \frac{1}{2} +k−2p}

= 2^{− \frac{1}{2} +k−2p} \frac{p!}{k!(p−k)!} ∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{(p−k)!}{l!(p−k−2l)!}(−1)^{l}(4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k−l}H_{p−k−2l}(−\frac{α}{\sqrt{4μ−1}}) .

Schrijf a = \frac{1}{2\sqrt{μ}} \sqrt{4μ − 1}, dan vinden we, met

(−1)^{l}(4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k−l}
= (4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}(\frac{1}{1−4μ})^{l}
= (4μ − 1)^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}(1 − (\frac{4μ−1}{4μ})^{−1})^{l}
= 2^{p−k}μ^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}a^{p−k}(1 − a^{−2})^{l}

dat, met lemma A.2,

∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{p!}{l!k!}(−1)^{l}a_{p,k+2l}(α, μ)2^{− \frac{1}{2} +k−2p}

= 2^{− \frac{1}{2} +k−2p} \frac{p!}{k!(p−k)!}2^{p−k}μ^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}a^{p−k} ∑_{l=0}^{[(p−k)/2]} \frac{(p−k)!}{l!(p−k−2l)!}(1 − a^{−2})^{l}H_{p−k−2l}(−\frac{α}{\sqrt{4μ−1}})
= 2^{− \frac{1}{2} −p} \frac{p!}{k!(p−k)!}μ^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−a\frac{α}{\sqrt{4μ−1}})
= 2^{− \frac{1}{2} −p}\binom{p}{k}μ^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}}) .

Verder geldt

e^{− \frac{(y−α)^{2}}{4μ}} = e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} e^{−i( \frac{iα}{2μ})y− \frac{1}{4μ} y^{2}} ,

Zodat we vinden Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}(y)

= i^{p}μ^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}2^{− \frac{1}{2} −p}μ^{\frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})y^{k}e^{−i( \frac{iα}{2μ})y− \frac{1}{4μ} y^{2}}
= i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})η_{( \frac{1}{4μ})}^{(k+1, \frac{iα}{2μ})}(y) .

Vervolgens berekenen we Fη_{(μ)}^{(p+1,α)} met Re(μ) = 0, μ ≠ 0. Er geldt voor alle ϕ ∈ S(ℝ) en voor μ → μ_{0}, Re(μ) > 0, Re(μ_{0}) = 0,

⟨η_{(μ)}^{(p+1,b)}, ϕ⟩ = ⟨x^{p}e^{−ibx−μx^{2}}, ϕ⟩
= ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{−ibx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
→ ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{−ibx−μ_{0}x^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ⟨η_{(μ_{0})}^{(p+1,b)}, ϕ⟩ .

waarbij het verwisselen van de integraal en de limiet gerechtvaardigd wordt door Lebesgue’s gemajoreerde convergentie stelling; een majorant is x^{p}\overline{ϕ(x)}. Dit betekent

η_{(μ)}^{(p+1,b)} → η_{(μ_{0})}^{(p+1,b)}

in zwakke zin. Dus, omdat F continu is op S′(ℝ),

Fη_{(μ_{0})}^{(p+1,b)} = lim_{μ→μ_{0}} Fη_{(μ)}^{(p+1,b)}
= i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p} lim_{μ→μ_{0}} e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})η_{( \frac{1}{4μ})}^{(k+1, \frac{iα}{2μ})}
= i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ_{0}}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}μ_{0}^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ_{0}}} )η_{( \frac{1}{4μ_{0}} )}^{(k+1, \frac{iα}{2μ_{0}} )} .
□

Verder vinden we, met F^{−1} = PF, Lemma 2.7 Er geldt

F^{−1}η^{(−q,a)} = \frac{(−i)^{q}}{\sqrt{2π}q!}η_{(0)}^{(q+1,a)} ,

F^{−1}η_{(0)}^{(p+1,a)} = \sqrt{2π}(−i)^{p}p!η^{(−p,−a)} ,

en

F^{−1}η_{(μ)}^{(p+1,α)} = i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}(−1)^{k}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})η_{( \frac{1}{4μ})}^{(k+1,− \frac{iα}{2μ})} .

□

2.3.2 De operatoren P, D, X, T_{a}, E_{a} en S_{a}

Lemma 2.8 De operator P op GF wordt beschreven door

Pη_{(μ)}^{(p+1,α)} = (−1)^{p}η_{(μ)}^{(p+1,−α)}
Pη^{(−q,a)} = (−1)^{q}η^{(−q,−a)} .

Bewijs De eerste gelijkheid volgt met direct met de definitie van P. De tweede gelijkheid volgt met de vergelijking D.4 en lemma 2.7:

Pη^{(−q,a)} = F^{2}η^{(−q,a)} = \frac{(−i)^{q}}{\sqrt{2π}q!}F^{3}η_{(0)}^{(q+1,a)} = (−1)^{q}F^{4}η^{(−q,−a)} = (−1)^{q}η^{(−q,−a)} .

□

Vervolgens beschouwen we D. We vinden met eenvoudig rekenwerk dat: Lemma 2.9 De operator D op GF wordt beschreven door

Dη^{(−q,a)} = −(q + 1)η^{(−q−1,a)}
Dη_{(μ)}^{(p+1,α)} = pη_{(μ)}^{(p,α)} − iαη_{(μ)}^{(p+1,α)} − 2μη_{(μ)}^{(p+2,α)} .
□

We beschouwen de operator X. Lemma 2.10 De operator X op GF wordt beschreven door

X η^{(−q,a)} = aη^{(−q,a)} + H(q − 1)η^{(−q+1,a)}
X η_{(μ)}^{(p+1,α)} = η_{(μ)}^{(p+2,α)} .

Bewijs Er geldt, met de vergelijking D.7 en de lemmata 2.7 en 2.9,

X η^{(−q,a)} = iFDF^{−1}η^{(−q,a)}
= \frac{i(−i)^{q}}{\sqrt{2π}q!}FDη_{(0)}^{(q+1,a)}
= \frac{a(−i)^{q}}{\sqrt{2π}q!} Fη_{(0)}^{(q+1,a)} + \frac{i(−i)^{q}q}{\sqrt{2π}q!} Fη_{(0)}^{(q,a)}
= aη^{(−q,a)} + H(q − 1)η^{(−q+1,a)} .

De tweede gelijkheid volgt direct met de definitie van X. □

Lemma 2.11 Er geldt voor de operator T_{a} op GF:

T_{a}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = e^{iβa−μa^{2}} ∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j}(−a)^{p−j}η_{(μ)}^{(j+1,β+2iμa)}
T_{a}η^{(−q,b)} = η^{(−q,a+b)} .

Bewijs Er geldt

T_{a}η_{(μ)}^{(p+1,β)}(x) = (x − a)^{p}e^{−iβ(x−a)−μ(x−a)^{2}}
= e^{iβa−μa^{2}} ∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j}(−a)^{p−j}x^{j}e^{−i(β+2iμa)x−μx^{2}}
= e^{iβa−μa^{2}} ∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j}(−a)^{p−j}η_{(μ)}^{(j+1,β+2iμa)}(x) ,

en, met de definitie van T_{a} op S′(ℝ),

T_{a}η^{(−q,b)} = η^{(−q,a+b)} .

□

Lemma 2.12 De operator E_{a} op GF wordt beschreven door

E_{a}η^{(−q,b)} = e^{−iab} ∑_{j=0}^{q} \frac{(−ia)^{j}}{j!} η^{(j−q,b)}
E_{a}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = η_{(μ)}^{(p+1,a+β)} .

Bewijs Er geldt, met vergelijking D.9,

E_{a}η^{(−q,b)} = \frac{1}{\sqrt{2π}q!i^{q}} E_{a}Fη_{(0)}^{(q+1,b)}
= \frac{1}{\sqrt{2π}q!i^{q}} FT_{−a}η_{(0)}^{(q+1,b)}
= \frac{e^{−iab}}{\sqrt{2π}q!i^{q}} ∑_{j=0}^{q} \binom{q}{j}a^{q−j}Fη_{(0)}^{(j+1,b)}
= \frac{e^{−iab}}{q!i^{q}} ∑_{j=0}^{q} j!\binom{q}{j}i^{j}a^{q−j}η^{(−j,b)}
= e^{−iab} ∑_{l=0}^{q} \frac{1}{l!}(−ia)^{l}η^{(−q+l,b)} .

De tweede gelijkheid volgt direct uit de definitie van E_{a}. □ We beschouwen als laatste de operator S_{a}. Lemma 2.13 De operator S_{a} op GF wordt beschreven door

S_{a}η^{(−q,b)} = \frac{1}{a^{q+1}} η^{(−q, \frac{b}{a})}
S_{a}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = a^{p}η_{(a^{2}μ)}^{(p+1,aβ)} .

Bewijs De tweede gelijkheid volgt direct met de definitie van S_{a}. Hiermee, en met vergelijking D.12, volgt nu dat

S_{a}η^{(−q,b)} = \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}S_{a}F^{−1}η_{(0)}^{(q+1,−b)}
= \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}aq!}F^{−1}S_{\frac{1}{a}} η_{(0)}^{(q+1,−b)}
= \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}a^{q+1}q!}F^{−1}η_{(0)}^{(q+1,−b/a)}
= \frac{1}{a^{q+1}} η^{(−q,b/a)} .
□

2.3.3 De operator A als operator op de ruimte GF

Omdat D en X operatoren op GF zijn, is ook de operator A(\underline{α}) te beperken tot een operator A op GF. We vinden voor deze operator:

Lemma 2.14 Er geldt

Aη_{(μ)}^{(p+1,β)} = p(p − 1)α_{2,0}η_{(μ)}^{(p−1,β)} + [−2ipα_{2,0}β + pα_{1,0}]η_{(μ)}^{(p,β)}
+ [−α_{2,0}β^{2} − 2(2p + 1)α_{2,0}μ + pα_{1,1} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(p+1,β)}
+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(p+2,β)}
+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(p+3,β)} ,

en

Aη^{(−q,b)} = H(q − 2)α_{0,2}η^{(−q+2,b)} + H(q − 1)[2α_{0,2}b + α_{0,1}]η^{(−q+1,b)}
+ [α_{0,2}b^{2} − qα_{1,1} + α_{0,1}b + α_{0,0} − α_{1,1}]η^{(−q,b)}
− (q + 1)[α_{1,1}b + α_{1,0}]η^{(−q−1,b)}
+ (q + 1)(q + 2)α_{2,0}η^{(−q−2,b)} .

Bewijs Eenvoudig rekenwerk, immers, er geldt

Aη_{(μ)}^{(p+1,β)} = (α_{2,0}D^{2} + α_{1,1}X D + α_{1,0}D + α_{0,2}X^{2} + α_{0,1}X + α_{0,0})η_{(μ)}^{(p+1,β)}
= p(p − 1)α_{2,0}η_{(μ)}^{(p−1,β)} + [−2ipα_{2,0}β + pα_{1,0}]η_{(μ)}^{(p,β)}
+ [−α_{2,0}β^{2} − 2(2p + 1)α_{2,0}μ + pα_{1,1} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(p+1,β)}
+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(p+2,β)}
+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(p+3,β)} .

en

FA(\underline{α})η^{(−q,b)}
= A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})Fη^{(−q,b)}
= \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})η_{(0)}^{(q+1,−b)}
= \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}\{−q(q − 1)α_{0,2}η_{(0)}^{(q−1,−b)} − [2iqα_{0,2}b + qiα_{0,1}]η_{(0)}^{(q,−b)}
+ [α_{0,2}b^{2} − qα_{1,1} + α_{0,1}b + α_{0,0} − α_{1,1}]η_{(0)}^{(q+1,−b)}
− [iα_{1,1}b + iα_{1,0}]η_{(0)}^{(q+2,−b)}
− α_{2,0}η_{(0)}^{(q+3,−b)}}
= H(q − 2)\frac{i^{q−2}}{\sqrt{2π}(q−2)!}α_{0,2}η_{(0)}^{(q−1,−b)} − H(q − 1)\frac{i^{q−1}}{\sqrt{2π}(q−1)!}[2α_{0,2}b + α_{0,1}]η_{(0)}^{(q,−b)}
+ \frac{i^{q}}{\sqrt{2π}q!}[α_{0,2}b^{2} − qα_{1,1} + α_{0,1}b + α_{0,0} − α_{1,1}]η_{(0)}^{(q+1,−b)}
− \frac{i^{q+1}}{\sqrt{2π}(q+1)!}(q + 1)[α_{1,1}b + α_{1,0}]η_{(0)}^{(q+2,−b)}
+ \frac{i^{q+2}}{\sqrt{2π}(q+2)!}(q + 1)(q + 2)α_{2,0}η_{(0)}^{(q+3,−b)}
= F{H(q − 2)α_{0,2}η^{(−q+2,b)} + H(q − 1)[2α_{0,2}b + α_{0,1}]η^{(−q+1,b)}
+ [α_{0,2}b^{2} − qα_{1,1} + α_{0,1}b + α_{0,0} − α_{1,1}]η^{(−q,b)}
− (q + 1)[α_{1,1}b + α_{1,0}]η^{(−q−1,b)}
+ (q + 1)(q + 2)α_{2,0}η^{(−q−2,b)}}
□

We zien dat inderdaad geldt:

Stelling 2.2 De ruimte GF is gesloten onder F, P, D, X , T_{a}, E_{a} en S_{a}, en dus ook onder A(\underline{α}). □

2.4 Een convergentie-begrip op GF, differentiëren binnen de ruimte GF

Omdat GF ⊂ S′(ℝ), kunnen we op GF het volgende convergentie-begrip invoeren:

Definitie 2.6 We noemen een rij (u_{n})_{n∈ℕ} ∈ GF (in GF-zin of zwak) convergent naar u ∈ GF, dan en slechts dan als voor alle ϕ ∈ S(ℝ) geldt ⟨u_{n}, ϕ⟩ → ⟨u, ϕ⟩. □

Verder definiëren we, net als in S′(ℝ), diffentieerbaarheid:

Definitie 2.7 Een afbeelding u(α) : ℂ → GF heet differentieerbaar (in GF-zin) als voor alle ϕ ∈ S(ℝ) de afbeelding ⟨u(α), ϕ⟩ : ℂ → ℂ differentieerbaar is. We schrijven dan, voor alle ϕ ∈ S(ℝ),

⟨\frac{d}{dα}u(α), ϕ⟩ = \frac{d}{dα}⟨u(α), ϕ⟩ .
□

Deze definitie is in overeenstemming met het hierboven ingevoerde convergentiebegrip. De afbeeldingen \frac{d}{dβ} : GF_{+} → GF en \frac{d}{dμ} : GF_{+} → GF zijn continu.

Lemma 2.15 Er geldt

\frac{d}{dβ} η_{(μ)}^{(p+1,β)} = −iη_{(μ)}^{(p+2,β)}

Bewijs Er geldt, voor alle ϕ ∈ S(ℝ), en voor β ∈ ℂ,

\frac{d}{dβ} ⟨η_{(μ)}^{(p+1,β)}, ϕ⟩ = \frac{d}{dβ} ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞} x^{p} \frac{d}{dβ} e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞} −ix^{p+1}e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ⟨−iη_{(μ)}^{(p+2,β)}, ϕ⟩ ,

waarbij het verwisselen van integratie en limiet geoorlooft is: Als Re(μ) > 0, dan, voor |x| → ∞, e^{−iβx−μx^{2}} = O(e^{−μx^{2}}), dus de integrant wordt dan gemajoreerd door Cx^{p}e^{−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}, voor zekere C > 0. Als Re(μ) = 0, dan is β ∈ ℝ. Een majorant is dan x^{p}\overline{ϕ(x)}. Lebesgue’s gemajoreerde convergentie stelling rechtvaardigt nu het verwisselen van de volgorde van integratie en limiet. We concluderen: η_{(μ)}^{(p+1,β)} is differentieerbaar naar β en

\frac{d}{dβ} η_{(μ)}^{(p+1,β)} = −iη_{(μ)}^{(p+2,β)} .
□

Lemma 2.16 Er geldt

\frac{d}{dμ}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = −η_{(μ)}^{(p+3,β)} .

Bewijs Er geldt, voor alle ϕ ∈ S(ℝ),

\frac{d}{dμ}⟨η_{(μ)}^{(p+1,β)}, ϕ⟩ = \frac{d}{dμ} ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞} x^{p} \frac{d}{dμ}e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞} −x^{p+2}e^{−iβx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}dx
= ⟨−η_{(μ)}^{(p+3,β)}, ϕ⟩ ,

waarbij, op dezelfde gronden als in het bewijs van lemma 2.15, het verwisselen van integratie en limiet geoorlooft is. We concluderen: η_{(μ)}^{(p+1,β)} is differentieerbaar naar μ en

\frac{d}{dμ}η_{(μ)}^{(p+1,β)} = −η_{(μ)}^{(p+3,β)} .

Deze operator is continu. □

Merk op dat

\frac{d}{dβ} |_{GF_{+}} = −iX |_{GF_{+}}

en dat

\frac{d}{dμ}|_{GF_{+}} = −X^{2}|_{GF_{+}}

2.5 Oplossingen van het Cauchy-probleem in GF, uitge-

drukt in oplossingen van een Cauchy-probleem in GF_{+}

We beschouwen nu de evolutievergelijking

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t)  (2.1)

Lemma 2.17 Als u(0) ∈ GF, zeg

u(0) = ∑_{j=−p}^{p} ∑_{k=−p}^{p} ∑_{l=−p}^{p} υ_{j,k,l}η_{(μ_{l})}^{(j,α_{k})} ,

en als \frac{d}{dt}u = Au een oplossing u(t) heeft voor t ∈ (t_{0}, t_{1}), met −∞ ≤ t_{0} ≤ 0 < t_{1} ≤ ∞, dan is u(t) te schrijven als

u(t) = ∑_{k=−p}^{p} ∑_{l=−p}^{p} u_{k,l}(t)

met u_{k,l}(t) oplossing van

\frac{d}{dt}u_{k,l}(t) = Au_{k,l}(t)
u_{k,l}(0) = ∑_{j=−p}^{p} υ_{j,k,l}η_{(μ_{l})}^{(j,α_{k})} .

Bewijs Eenvoudig in te zien door de actie van \frac{d}{dt} en A op η_{(μ(t))}^{(j,α(t))} te beschouwen. □ Lemma 2.18 Een u(t) ∈ GF is, voor t ∈ (t_{0}, t_{1}), met −∞ ≤ t_{0} ≤ 0 < t_{1} ≤ ∞, oplossing van

\frac{d}{dt}u(t) = A(\underline{α})u(t) ,
u(0) = ∑_{j=0}^{p} υ_{j}η^{(−j,b)} ;

dan en slechts dan als v(t) = Fu(t) voor t ∈ (t_{0}, t_{1}) oplossing is van

\frac{d}{dt}v(t) = A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})v(t) ,
v(0) = ∑_{j=0}^{p} ν_{j}η^{(j+1,−b)} ,

met

ν_{j} = \frac{i^{j}}{\sqrt{2π}j!}υ_{j} .

Bewijs Met lemma 2.1 en 2.5 vinden we: Als

u(t) = ∑_{j=0}^{n} υ_{j+1}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))}

voldoet aan

\frac{d}{dt}u = A(α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})u , dan voldoet Fu aan

\frac{d}{dt}Fu = A(−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1})Fu . De beginvoorwaarde voor v(t) volgt met lemma 2.6. □

Zonder verlies van algemeenheid beperken we ons dus tot beginwaarde-problemen met

u(0) = ∑_{j=0}^{p} υ_{j+1}η_{(μ)}^{(j+1,β)} .

Schrijf nu GF_{±}(t) voor de verzameling eindige lineaire combinaties van continu differentieerbare afbeeldingen (t_{0}, t_{1}) → GF: t ↦ η_{(μ(t))}^{(j,β(t))}, t_{0}, t_{1} ∈ ℝ, waar voor alle t geldt η_{(μ(t))}^{(j,β(t))} ∈ GF_{±}.

Lemma 2.19 Er geldt

AGF_{+}(t) ⊂ GF_{+}(t) ,
\frac{d}{dt}GF_{+}(t) ⊂ GF_{+}(t) .

Bewijs Er geldt, voor u(t) ∈ GF_{+}(t),

\frac{d}{dt}u(t) = (β̇(t)\frac{d}{dβ} + μ̇(t)\frac{d}{dμ})u(t) .

Het gestelde volgt nu met de lemmata 2.14, 2.15 en 2.16. □

2.6 Een oplossing van het Cauchy-probleem in de ruimte

GF_{+}

Inleiding

In deze paragraaf lossen we het Cauchy-probleem in GF_{+}, en daarmee, volgens de resultaten van paragraaf 2.5, dat in GF, op. Dit doen we als volgt:

In paragraaf 2.6.1 laat ik zien dat het Cauchy-probleem te vertalen is in een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen. Eén van die differentiaalvergelijkingen zal een Ricatti-vergelijking zijn. In paragraaf 2.6.3 introduceer ik een ‘singulariteitenverzameling’, die een rol zal spelen bij het bepalen van nodige voorwaarden op de coëfficiënten \underline{α} en de beginconditie, opdat de oplossing van het Cauchy-probleem op een voldoende groot interval bestaat. Stelling 2.3, paragraaf 2.6.6 geeft de oplossing van het Cauchy-probleem in GF_{+}.

2.6.1 Een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen

Lemma 2.20 Zij A golfachtig of diffusieachtig, n ∈ ℕ en

u(t) = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))} .

met voor alle t: Re(μ(t)) ≥ 0 en, als voor zekere t Re(μ(t)) = 0, dan β(t) ∈ ℝ. Zij verder −∞ ≤ t_{0} ≤ 0 < t_{1} ≤ ∞, met (t_{1}, t_{2}) ⊂ I\underline{α}.

Dan geldt: u(t) voldoet aan de evolutievergelijking 2.1 in het gebied (t_{0}, t_{1}), dan en slechts dan als voor alle t ∈ (t_{0}, t_{1}) geldt:

β̇ = (α_{1,1} − 4α_{2,0}μ)β + iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ ,  (2.2)
μ̇ = −α_{0,2} + 2α_{1,1}μ − 4α_{2,0}μ^{2} ,  (2.3)

terwijl voor de functies υ_{j}(t), 0 ≤ j ≤ n geldt:

υ̇_{0} = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{0} ,  (2.4)

en, als n ≥ 3,

υ̇_{1} = (α_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1}
+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} ;  (2.5)

als n ≥ 4, 2 ≤ j ≤ n − 2:

υ̇_{j} = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{j}
+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2} ;  (2.6)

als n ≥ 2:

υ̇_{n−1} = ((n − 1)α_{1,1} + α_{0,0} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1}
+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} ;  (2.7)

terwijl

υ̇_{n} = (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2n + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{n} .  (2.8)

Bewijs De lemmata 2.17 en 2.19 rechtvaardigen de keuze voor een Ansatz van de vorm u(t). We beschouwen Aη_{(μ)}^{(p+1,β)}. Er geldt

Aη_{(μ)}^{(p+1,β)} = p(p − 1)α_{2,0}η_{(μ)}^{(p−1,β)} + [−2ipα_{2,0}β + pα_{1,0}]η_{(μ)}^{(p,β)}

+ [−α_{2,0}β^{2} − 2(2p + 1)α_{2,0}μ + pα_{1,1} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(p+1,β)}

+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(p+2,β)}

+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(p+3,β)}

Anderzijds geldt, met lemmata 2.15 en 2.16,

\frac{d}{dt}η_{(μ)}^{(j+1,β)} = −iβ̇η_{(μ)}^{(j+2,β)} − μ̇η_{(μ)}^{(j+3,β)} .

Zij nu n ≥ 4. Dan vinden we voor Au:

Au = ∑_{j=0}^{n}{j(j − 1)α_{2,0}η_{(μ)}^{(j−1,β)} + [−2ijα_{2,0}β + jα_{1,0}]η_{(μ)}^{(j,β)}
+ [−2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2} + jα_{1,1} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(j+1,β)}
+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(j+2,β)}
+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(j+3,β)}]}υ_{j} ;

een som van η_{(μ)}^{(j+1,β)}’s. De coëfficient voor η_{(μ)}^{(1,β)} is

(α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2α_{2,0}μ)υ_{0} + (−2iα_{2,0}β + α_{1,0})υ_{1} + 2α_{2,0}υ_{2} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(2,β)} is

(α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{0} + (α_{0,0} + α_{1,1} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1} + (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(j+1,β)}, 2 ≤ j ≤ n − 2 is

(α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{j−2} + (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{j−1} + (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ)υ_{j} + ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}

+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(n,β)} is

(4α_{2,0}μ^{2} + α_{0,2} − 2α_{1,1}μ)υ_{n−3} + (α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{n−2} + ((n − 1)α_{1,1} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1} + (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+1,β)} is

(α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−2} + (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{n−1} + (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ)υ_{n} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+2,β)} is

(α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−1} + (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{n} .

De coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+3,β)} is

(α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n} .

Anderzijds vinden we voor \frac{d}{dt}u:

\frac{d}{dt}u = υ̇_{0}η_{(μ)}^{(1,β)} + [υ̇_{1} − iβ̇υ_{0}]η_{(μ)}^{(2,β)} + ∑_{j=2}^{n}[υ̇_{j} − iβ̇υ_{j−1} − μ̇υ_{j−2}]η_{(μ)}^{(j+1,β)}

+ [−iβ̇υ_{n} − μ̇υ_{n−1}]η_{(μ)}^{(n+2,β)} − μ̇υ_{n}η_{(μ)}^{(n+3,β)} .

Gelijkstellen van de coëfficienten geeft de volgende n + 3 vergelijkingen voor de n + 3 variabelen υ_{0}...υ_{n} en β, μ:

υ̇_{0} = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{0}
+ (α_{1,0} − 2iα_{2,0}β)υ_{1} + 2α_{2,0}υ_{2} ,  (2.9)
υ̇_{1} = (iβ̇ + α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{0}

+ (α_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1}

+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} ,  (2.10)
υ̇_{j} = (μ̇ + α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{j−2}

+ (iβ̇ + α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{j−1} + (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{j} + ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}

+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2}  2 ≤ j ≤ n − 2 ,  (2.11)
υ̇_{n−1} = (μ̇ + α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−3}

+ (iβ̇ + α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{n−2} + ((n − 1)α_{1,1} + α_{0,0} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1}

+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} ,  (2.12)
υ̇_{n} = (μ̇ + α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−2}

+ (iβ̇ + α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{n−1}

+ (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2n + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{n} ,  (2.13)

en

−iβ̇υ_{n} − μ̇υ_{n−1} = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−1}
+ (α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{n} ,  (2.14)
−μ̇υ_{n} = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n} .  (2.15)

Zij nu u(t) zodanig dat voldaan is aan de vergelijkingen 2.3, 2.2 en 2.4 tot en met 2.8. Dan volgt vergelijking 2.15 uit de vergelijking 2.3. Substitutie van vergelijking 2.15 in vergelijking 2.14 geeft

−iβ̇ = α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ
β̇ = (α_{1,1} − 4α_{2,0}μ)β + iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ .  (2.16)

Dit is vergelijking 2.2. De differentiaalvergelijkingen voor υ_{j}(t) geven de overige vergelijkingen. Immers: Substitutie van vergelijking 2.16 in 2.10:

υ̇_{1} = (α_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1}
+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} ,  (2.17)

Substitutie van de vergelijkingen 2.15 en 2.16 in vergelijking 2.11 geeft:

υ̇_{j} = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{j}
+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2}  2 ≤ j ≤ n − 2 .  (2.18)

Substitutie van de vergelijkingen 2.15 en 2.16 in vergelijking 2.12 geeft:

υ̇_{n−1} = ((n − 1)α_{1,1} + α_{0,0} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1}
+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} ,

Substitutie van de vergelijkingen 2.15 en 2.16 in vergelijking 2.13 geeft:

υ̇_{n} = (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2n + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{n} .  (2.19)

Vervolgens beschouwen we de gevallen waarin n < 4. Als n = 0, dan vinden we voor Au:

Au = {[−α_{2,0}β^{2} − 2α_{2,0}μ − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(1,β)}
+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(2,β)}
+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(3,β)}}υ_{0} .

Anderzijds vinden we voor \frac{d}{dt}u:

\frac{d}{dt}u = υ̇_{0}η_{(μ)}^{(1,β)} − iβ̇υ_{0}η_{(μ)}^{(2,β)} − μ̇υ_{0}η_{(μ)}^{(3,β)} .

Gelijkstellen van de coëfficiënten van η_{(μ)}^{(1,β)}, η_{(μ)}^{(2,β)} en η_{(μ)}^{(3,β)} geeft nu de vergelijkingen 2.2, 2.3 en 2.4.

Als n = 1, dan vinden we op dezelfde manier de vergelijkingen 2.2, 2.3, 2.4 en 2.8. Als n = 2, vinden we de vergelijkingen 2.2, 2.3, 2.4, 2.7 en 2.8. Als n = 3, vinden we de vergelijkingen 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7 en 2.8.

Met de éénduidigheidsstelling 1.11 volgt dat het stelsel differentiaalvergelijkingen niet alleen een voldoende, maar ook een nodige voorwaarde geeft voor de oplossing van de evolutievergelijking. □

2.6.2 De functie μ(t)

We bepalen de functie μ(t).

Lemma 2.21 Beschouw de differentiaalvergelijking 2.3:

μ̇ = −α_{0,2} + 2α_{1,1}μ − 4α_{2,0}μ^{2} .

We schrijven ω := \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}, waar \sqrt{·} op ℂ gedefinieerd is als in de inleiding van dit

hoofdstuk. We schrijven verder μ_{+} := \frac{α_{1,1}+ω}{4α_{2,0}} en μ_{−} := \frac{α_{1,1}−ω}{4α_{2,0}} .

Als α_{2,0} = α_{1,1} = 0, dan is de functie

μ(t) = −α_{0,2}t + μ(0)

oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied ℝ.

Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan is de functie

μ(t) = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} + (μ(0) − \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} )e^{2α_{1,1}t}

oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied ℝ.

Voor α_{2,0} ≠ 0, μ(0) = μ_{+} is de functie

μ(t) = μ_{+}

oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied ℝ. Voor μ(0) = μ_{−} is de functie

μ(t) = μ_{−}

oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied ℝ.

Zij nu μ(0) ≠ μ_{+} en μ(0) ≠ μ_{−}. Als nu α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, dan is de functie

μ(t) = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} + \frac{4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}}{4α_{2,0}(4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1})t + 4α_{2,0}}

oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied (−|\frac{1}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ(0)}|, |\frac{1}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ(0)}|).

Als laatste beschouwen we het geval μ(0) ≠ μ_{+}, μ(0) ≠ μ_{−}, α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}. We definiëren de hoofdwaarde van de logaritme: voor alle z ∈ ℂ, log z := log |z|+i arg z, −π < arg z ≤ π. We schrijven verder λ_{0} := \frac{ω}{μ_{+}−μ(0)}. De functie

μ(t) = μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} + (λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt}}

is nu oplossing van de differentiaalvergelijking in het gebied (−t_{0}, t_{0}), met

t_{0} := min_{k∈ℤ} |\frac{1}{2ω} (log \frac{2α_{2,0}}{2α_{2,0} − λ_{0}} + 2πik)| .

Bewijs We beschouwen vergelijking 2.3:

μ̇ = −α_{0,2} + 2α_{1,1}μ − 4α_{2,0}μ^{2}

eerst voor α_{2,0} = α_{1,1} = 0. De vergelijking heeft dan de oplossing

μ(t) = −α_{0,2}t + μ(0) .

Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan luidt de vergelijking

μ̇ = −α_{0,2} + 2α_{1,1}μ

met oplossing

μ(t) = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} + (μ(0) − \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} )e^{2α_{1,1}t} .

Zij nu α_{2,0} ≠ 0. Vergelijking 2.3 is nu een Ricatti-vergelijking voor μ(t). De algemene oplossing voor deze vergelijking is te vinden door te zoeken naar een Ansatz van de vorm μ(t) = μ_{+}(t)+ \frac{1}{ν(t)}, waarbij μ_{+}(t) zekere particuliere oplossing is. We zien meteen dat de vergelijking een particuliere oplossing μ_{±}(t) ≡ μ_{±} heeft, met

4α_{2,0}μ_{±}^{2} − 2α_{1,1}μ_{±} + α_{0,2} = 0 .

I.e.

μ_{±} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} ± \frac{1}{4α_{2,0}} \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}

We kiezen

μ_{+} := \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} + \frac{1}{4α_{2,0}} \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}

Zij nu μ(0) ≠ μ_{+}, μ(0) ≠ μ_{−}. Substitutie van

μ(t) = μ_{+} + \frac{1}{ν(t)}

in

μ̇ + 4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2} = 0

geeft voor ν(t) de lineaire differentiaal-vergelijking

ν̇ + (2α_{1,1} − 8α_{2,0}μ_{+})ν − 4α_{2,0} = 0 .  (2.20)

In het geval dat α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, dat wil zeggen 2α_{1,1} − 8α_{2,0}μ_{+} = 0, heeft deze differentiaalvergelijking de oplossing

ν(t) = 4α_{2,0}t + ν(0) .

Dit betekent voor μ(t):

μ(t) = μ_{+} + \frac{1}{4α_{2,0}t + ν(0)}
= \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} + \frac{4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}}{4α_{2,0}t(4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}) + 4α_{2,0}} ,

met t ≠ \frac{1}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ(0)}. (Bedenk dat μ(0) ≠ μ_{+} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} .)

In het geval dat α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2} heeft differentiaalvergelijking 2.20 de oplossing

ν(t) = \frac{2α_{2,0}}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ_{+}} + (ν(0) − \frac{2α_{2,0}}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ_{+}} )e^{(8α_{2,0}μ_{+}−2α_{1,1})t}
= −\frac{2α_{2,0}}{ω} + (ν(0) + \frac{2α_{2,0}}{ω})e^{2ωt} ,

waar ω := \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}. Voor μ(t) betekent dit, met λ_{0} := −\frac{ω}{μ(0)−μ_{+}} ,

μ(t) = μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} − (ων(0) + 2α_{2,0})e^{2ωt}}
= μ_{+} − \frac{ω(μ(0) − μ_{+})}{2α_{2,0}(μ(0) − μ_{+}) − [ω + 2α_{2,0}(μ(0) − μ_{+})]e^{2ωt}}
= μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} + (λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt}} .  (2.21)
□

Het bovenstaande lemma leert nu:

Lemma 2.22 Voor alle \underline{α} ∈ ℂ^{6}, en voor alle μ(0) ∈ ℂ, zijn er getallen t_{0} < 0 en t_{1} > 0 zodat μ(t) op (t_{0}, t_{1}) aan de Ricatti-vergelijking 2.3 voldoet. □

2.6.3 De singulariteitenverzameling S

We voeren een singulariteitenverzameling S(\underline{α}, μ(0)) in. Deze zal later een rol spelen bij het bepalen van het definitiegebied van de oplossing van het stelsel gewone differentiaalvergelijkingen.

Definitie 2.8 We definiëren, voor \underline{α} ∈ ℂ^{6}, en μ(0) ∈ ℂ, de singulariteitenverzameling S = S(\underline{α}, μ(0)) ⊂ ℂ:

S(\underline{α}, μ(0))
:= \{ \begin{matrix}∅ & als òf α_{2,0} ≠ 0 en μ(0) = μ_{±}, òf α_{2,0} = 0 \\ \{\frac{1}{α_{1,1}−4α_{2,0}μ(0)}\} & als μ(0) ≠ μ_{±}, terwijl α_{2,0} ≠ 0 en α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, \\ \{s_{k} | k ∈ ℤ\} & als μ(0) ≠ μ_{±}, α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2} \end{matrix}

met

s_{k} := \frac{1}{2ω} (log(\frac{2α_{2,0}}{2α_{2,0} − λ_{0}} ) + 2πik) .

In het eerste, tweede, respektievelijk derde geval noemen we de verzameling S van type één, type twee, respektievelijk type drie. □

Merk op: Als S van type drie is, dan is S de verzameling van nulpunten van

(λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt} + 2α_{2,0} ,

t ∈ ℂ. De verzameling S is dan ook te karakteriseren als de verzameling nulpunten t ∈ ℂ van

μ(0) − \frac{1}{4α_{2,0}} (α_{1,1} + ω − \frac{2ω}{1 − e^{−2ωt}}) .

Ter herinnering: We gebruiken de afkortingen

ω = \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}
μ_{+} = \frac{α_{1,1} + ω}{4α_{2,0}}
μ_{−} = \frac{α_{1,1} − ω}{4α_{2,0}}
λ_{0} = \frac{ω}{μ_{+} − μ(0)} .

We zoeken (zo zwak mogelijke) voorwaarden op \underline{α}, zodanig dat S(\underline{α}, μ(0)) voor alle μ(0) met Re(μ(0)) ≥ 0 geen punten gemeen heeft met een zeker interval (t_{0}, t_{1}). We proberen daarbij het interval (t_{0}, t_{1}) zo groot mogelijk te praten (bijvoorbeeld gelijk aan I\underline{α}). We beschouwen \underline{α} met A golfachtig en \underline{α} met A diffusieachtig.

De verzameling S met A golfachtig

Zij A golfachtig, i.e. Re(α_{2,0}) = Im(α_{1,1}) = Re(α_{0,2}) = Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,1}) = 0. Dan is I\underline{α} = ℝ. We schrijven α_{2,0} = iy_{2,0}, α_{1,1} = x_{1,1}, α_{0,2} = iy_{0,2}, met y_{2,0}, x_{1,1}, y_{0,2} ∈ ℝ.

Triviaal is:

Lemma 2.23 Als α_{2,0} ≠ 0 en μ(0) = μ_{±}, of α_{2,0} = 0, dan geldt S ∩ I\underline{α} = ∅. □

Lemma 2.24 Als A golfachtig is, en x_{1,1}^{2} < −2y_{2,0}y_{0,2}, terwijl μ(0) = 0, dan is ω = iw, met w > 0, en, voor alle K ∈ ℤ, S ∩ [(K − \frac{1}{4})\frac{π}{w} , (K + \frac{1}{4})\frac{π}{w}] = ∅. Bewijs Omdat x_{1,1}^{2} < −2y_{2,0}y_{0,2}, is ook x_{1,1}^{2} < −4y_{2,0}y_{0,2}, en y_{2,0} ≠ 0, dus α_{2,0} ≠ 0 en α_{1,1}^{2} < 4α_{2,0}α_{0,2}. Dit geeft ω = iw, w > 0. Er geldt Re(μ_{±}) = Re(\frac{x_{1,1}±iw}{4iy_{2,0}} ) ≠ 0 = Re(μ(0)). Dus S is van type drie.

Zij nu K ∈ ℤ en t ∈ [(K − \frac{1}{4})\frac{π}{w} , (K + \frac{1}{4})\frac{π}{w}]. Dan e^{−2ωt} ∈ \{e^{iϕ} | − \frac{1}{2}π ≤ ϕ ≤ \frac{1}{2}π\}. Nu geldt, (zie ook [K, 4.2, p. 11]),

\{\frac{2}{1 + z} | |z| = 1, z ≠ −1\} = \{w | |\frac{2 − w}{w} | = 1, w ≠ 0\}
= {w | Re(w) = 1, w ≠ 0} ,

en dus

\{\frac{2}{1 − e^{iϕ}} | − \frac{1}{2}π ≤ ϕ ≤ \frac{1}{2}π\} = \{w | Re(w) = 1, |Im(w)| ≥ 1\} .

Dit geeft, voor t ≠ 0, \frac{2}{1−e^{−2ωt}} ∈ \{1 + ia | a ∈ ℝ, |a| ≥ 1\}. Zij t ≠ 0 en schrijf \frac{2}{1−e^{−2ωt}} = 1 + ia(t). Dan vinden we

Re(ω(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}})) = −wIm(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}})
= wa(t) .

Nu geldt |wa(t)| > |x_{1,1}|, immers x_{1,1}^{2} < −2y_{2,0}y_{0,2} dus x_{1,1}^{2} < −x_{1,1}^{2} − 4y_{2,0}y_{0,2} = w^{2}, en dus

Re(α_{1,1} + ω(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}})) = x_{1,1} + wa(t)
≠ 0 .

We vinden

\frac{1}{4α_{2,0}} (α_{1,1} + ω − \frac{2ω}{1 − e^{−2ωt}}) ≠ 0
= μ(0) .

Dit betekent: t ∉ S. Als t = 0, dan

(λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt} + 2α_{2,0} = λ_{0} ≠ 0 ,

dus ook dan geldt: t ∉ S. Dus S ∩ [(K − \frac{1}{4})\frac{π}{w} , (K + \frac{1}{4})\frac{π}{w}] = ∅. □

Lemma 2.25 Als A golfachtig is, en α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} < 4α_{2,0}α_{0,2}, terwijl Re(4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}) > 0 dan is ω = iw, met w > 0, en, voor alle K ∈ ℤ, S ∩ [K \frac{π}{w} , (K + \frac{1}{2})\frac{π}{w}] = ∅. Bewijs Omdat α_{1,1}^{2} < 4α_{2,0}α_{0,2} is ω = iw, w > 0. Er geldt Re(μ_{±}) = Re(\frac{x_{1,1}±iw}{4iy_{2,0}} ) ≠ 0 = Re(μ(0)). Dus S is van type drie.

Zij nu K ∈ ℤ en t ∈ [K \frac{π}{w} , (K + \frac{1}{2})\frac{π}{w}]. Dan e^{−2ωt} ∈ \{e^{iϕ} | − π ≤ ϕ ≤ 0\} en, voor t ≠ 0, \frac{2}{1−e^{−2ωt}} ∈ \{1 − ia | a ≥ 0\}. Schrijf \frac{2}{1−e^{−2ωt}} = 1 − ia(t). Dan vinden we

Re(ω(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}})) = −wIm(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}})
= −wa(t)
≤ 0 .

Nu geldt Re(4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}) > 0, dus

ω(1 − \frac{2}{1 − e^{−2ωt}}) ≠ 4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1} .

Dit betekent: t ∉ S. Als t = 0, dan

(λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt} + 2α_{2,0} = λ_{0} ≠ 0 ,

dus ook dan: t ∉ S. Dus S ∩ [K \frac{π}{w} , (K + \frac{1}{2})\frac{π}{w}] = ∅. □

De verzameling S met A diffusieachtig

Vervolgens beschouwen we S met A diffusie-achtig, i.e. Re(α_{2,0}) ≥ δ, Re(α_{0,2}) ≤ −δ en |Im(α_{1,1})| ≤ 2δ − ϵ. Er geldt dan α_{2,0} ≠ 0.

Triviaal is:

Lemma 2.26 Als A diffusieachtig en μ(0) = μ_{+}, of μ(0) = μ_{−}, dan geldt S ∩ I\underline{α} = ∅. □

Lemma 2.27 Als A diffusieachtig is, α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, Im(α_{2,0}) = 0 en Re(α_{1,1}) < 0, terwijl Re(μ(0)) ≥ 0, μ(0) ≠ μ_{±} dan geldt S ∩ I\underline{α} = ∅. Bewijs Er geldt: S is van type twee en

Re(α_{1,1} − 4α_{2,0}μ(0)) < −4Re(α_{2,0})Re(μ(0)) + 4Im(α_{2,0})Im(μ(0))
≤ 0 ,

dus S ∩ I\underline{α} = ∅. □

Lemma 2.28 Als A diffusieachtig is, en α_{2,0}, α_{1,1} en α_{0,2} alle zuiver reëel zijn, terwijl Re(μ(0)) ≥ 0, dan geldt: S ∩ I\underline{α} = ∅. Bewijs Er geldt α_{2,0} > 0 en α_{0,2} < 0. Verder geldt α_{1,1}^{2} ≥ 0 > 4α_{2,0}α_{0,2}, dus S is van type drie, en 0 ≤ |α_{1,1}| < ω. Verder

μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0}} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} − \frac{ω}{4α_{2,0}}
< 0
≤ Re(μ(0)) ,

i.e. μ_{+} − Re(μ(0)) < \frac{ω}{2α_{2,0}} , dus, omdat λ_{0} := \frac{ω}{μ_{+}−μ(0)}, geldt: Re(λ_{0}) − 2α_{2,0} < −2α_{2,0} òf Re(λ_{0}) − 2α_{2,0} > 0. Omdat nu e^{2ωt} ≥ 1 voor t ≥ 0, geldt dat S ∩ I\underline{α} = ∅. □

2.6.4 Het existentie-interval en de functie μ(t) op haar maximale domein

Zij nu \underline{α} ∈ ℂ^{6} en μ(0), β(0) ∈ ℂ, met òf Re(μ(0)) = 0 en Im(β(0)) = 0, òf Re(μ(0)) > 0. Zij verder n ∈ ℕ, υ_{j}(0) ∈ ℂ, 0 ≤ j ≤ n. We definiëren het existentie-interval (t_{0}, t_{1}):

Definitie 2.9 We definiëren

t_{0} := inf\{t ∈ ℝ | (t, 0] ∩ S(\underline{α}, μ(0)) = ∅\} ,
t_{1} := sup\{t ∈ ℝ | [0, t) ∩ S(\underline{α}, μ(0)) = ∅\} .
□

Met lemma 2.22 volgt dat t_{1} − t_{0} > 0, dus dat (t_{0}, t_{1}) ≠ ∅. We definiëren de functie μ(t):

Definitie 2.10 We definiëren, afhankelijk van \underline{α} en μ(0), de functie μ(t) : (t_{0}, t_{1}) → ℂ: Als α_{2,0} = α_{1,1} = 0, dan

μ(t) := −α_{0,2}t + μ(0)

Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan

μ(t) := \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} + (μ(0) − \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} )e^{2α_{1,1}t}

Voor α_{2,0} ≠ 0, μ(0) = μ_{±}:

μ(t) := μ_{±}

Als α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, terwijl μ(0) ≠ μ_{+} en μ(0) ≠ μ_{−}, dan

μ(t) := \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} + \frac{4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1}}{4α_{2,0}(4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1})t + 4α_{2,0}}

Als α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}, μ(0) ≠ μ_{+}, μ(0) ≠ μ_{−}, dan:

μ(t) := μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} + (λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt}} .

□

Met de definitie’s van (t_{0}, t_{1}) en S is eenvoudig in te zien dat de aldus gedefinieerde functie μ(t) inderdaad (t_{0}, t_{1}) in ℂ afbeeldt. Verder geldt: μ(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Met lemma 2.21 volgt dat μ(t) in (t_{0}, t_{1}) aan de differentiaalvergelijking 2.3:

μ̇ = −α_{0,2} + 2α_{1,1}μ − 4α_{2,0}μ^{2}

voldoet.

2.6.5 De functie β(t) en de overige coëfficiënten

Een beginwaardeprobleem

Lemma 2.29 Beschouw het beginwaardeprobleem

ż = α(t)z + β(t) ,
z(0) = z_{0} .

Als α(t), β(t) ∈ C((t_{0}, t_{1}), ℂ) voor zekere −∞ ≤ t_{0} ≤ 0 < t_{1} ≤ ∞, dan heeft dit beginwaardeprobleem precies één oplossing z(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Bewijs Als het beginwaardeprobleem oplosbaar is, dan voldoet de functie

z_{h}(t) = C exp[∫_{0}^{t} α(τ)dτ]

aan de homogene differentiaalvergelijking. Wanneer we de functie

z(t) = C(t) exp[∫_{0}^{t} α(τ)dτ]

beschouwen, vinden we dat

z(t) = (z_{0} + ∫_{0}^{t} β(τ) exp[− ∫_{0}^{τ} α(θ)dθ]dτ) exp[∫_{0}^{t} α(τ)dτ]

de oplossing moet zijn van het beginwaardeprobleem. De voorwaarden α(t), β(t) ∈ C((t_{0}, t_{1}), ℂ) zijn voldoende voor het bestaan van deze uitdrukking voor alle t ∈ (t_{0}, t_{1}). Verder zien we dat z(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). □

De definitie van de functie β(t) en de overige coëfficiënten

Lemma 2.30 Beschouw, voor t ∈ ℝ, de differentiaalvergelijking 2.2:

β̇ = (α_{1,1} − 4α_{2,0}μ)β + iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ ,

en het stelsel 2.4 tot en met 2.8 van lineaire gewone eerste orde differentiaalvergelijkingen voor de functies υ_{j}(t), 0 ≤ j ≤ n:

υ̇_{0} = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{0} ,

en, als n ≥ 3,

υ̇_{1} = (α_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1}
+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} ;

als n ≥ 4, 2 ≤ j ≤ n − 2:

υ̇_{j} = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{j}
+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2} ;

als n ≥ 2:

υ̇_{n−1} = ((n − 1)α_{1,1} + α_{0,0} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1}
+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} ;

terwijl

υ̇_{n} = (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − 2(2n + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{n} .

De differentiaalvergelijking voor β(t), en zoals zal blijken, dus ook het stelsel voor υ_{j}(t), heeft een éénduidige oplossing in het gebied (t_{0}, t_{1}). Bewijs De bewering volgt direct uit lemma 2.29: Immers, differentiaalvergelijking 2.2 is van de juiste vorm, en het beginwaardeprobleem voor β heeft dus een oplossing β(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Substitutie van deze oplossing in vergelijking 2.8 geeft een υ_{n}(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Substitutie in vergelijking 2.7 geeft υ_{n−1}(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Substitutie in 2.6, met j = n − 2, geeft υ_{n−2}(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). Successieve substitutie geeft nu υ_{j}(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ), 2 ≤ j ≤ n − 3. De vergelijkingen 2.5 en 2.4 tenslotte, geven υ_{1}(t) en υ_{0}(t) ∈ C′((t_{0}, t_{1}), ℂ). □

We definiëren:

Definitie 2.11 We definiëren de C′((t_{0}, t_{1}), ℂ)-functies β(t) en υ_{j}(t), 0 ≤ j ≤ n, als de oplossingen van de differentiaalvergelijkingen 2.2 en 2.4 tot en met 2.8. Volgens lemma 2.30 is deze definitie zinvol. □

Een fikse rekenpartij leert het volgende over de functie β(t): Voor α_{2,0} = α_{1,1} = 0 is

β(t) = iα_{0,2}α_{1,0}t^{2} + i(α_{0,1} − 2α_{1,0}μ(0))t + β(0) .

Voor α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1} is

β(t) = b_{0} + [β(0) − b_{0} − b_{1}]e^{α_{1,1}t} + b_{1}e^{2α_{1,1}t}

met

b_{0} = \frac{i}{α_{1,1}^{2}} (α_{0,1}α_{1,1} − α_{0,2}α_{1,0}) ,
b_{1} = \frac{2iα_{1,0}}{α_{1,1}} (\frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} − μ(0)) .

Voor μ(0) = μ_{+} en α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}, α_{2,0} ≠ 0, is

β(t) = −\frac{1}{ω} (iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ_{+})(e^{−ωt} − 1) + β(0)e^{−ωt} .

Voor μ(0) = μ_{+} en α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, α_{2,0} ≠ 0 is

β(t) = (iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ_{+})t + β(0) .

Voor μ(0) ≠ μ_{+} en α_{1,1}^{2} = 4α_{2,0}α_{0,2}, α_{2,0} ≠ 0 is

β(t) = \frac{(2α_{2,0}μ(0) − \frac{α_{1,1}}{2} )(iα_{0,1} − \frac{iα_{1,1}α_{1,0}}{2α_{2,0}} )t^{2} + (iα_{0,1} − 2iα_{1,0}μ(0))t + β(0)}{1 + (4α_{2,0}μ(0) − α_{1,1})t} .

Als μ(0) ≠ μ_{+}, α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}, α_{2,0} ≠ 0, dan is

β(t) = \frac{β_{0} + β_{1}e^{ωt} + β_{2}e^{2ωt}}{−ω(2α_{2,0} + (λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt})} ,

waar

β_{0} := 2iα_{2,0}α_{0,1} − 2iα_{1,1}α_{1,0} + 4iα_{2,0}α_{1,0}μ_{+}
β_{1} := 2iα_{1,1}α_{1,0} − 4iα_{2,0}α_{0,1} + iλ_{0}(α_{0,1} − 2α_{1,0}μ_{+}) − ωλ_{0}β(0)
β_{2} := −i(λ_{0} − 2α_{2,0})(α_{0,1} − 2α_{1,0}μ_{+}) .

2.6.6 De oplossing van het Cauchy-probleem in GF_{+}

Stelling 2.3 Zij A golfachtig of diffusieachtig en μ(t), β(t) en υ_{j}(t) als in de definities 2.10 en 2.11. Dan is, voor t ∈ (t_{0}, t_{1}),

u(t) := ∑_{j=0}^{n} υ_{j}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))}

in GF en u(t) is oplossing van het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u(t) = Au(t)
u(0) = ϕ

met

ϕ = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}(0)η_{(μ(0))}^{(j+1,β(0))} .

Bewijs Als voor zekere t Re(μ(t)) < 0 of èn Re(μ(t)) = 0 èn Im(β(t)) ≠ 0, dan x^{j}e^{−iβx−μx^{2}} ∉ S′(ℝ), immers, x^{j}e^{−iβx−μx^{2}} is dan niet polynomiaal begrensd. Dit is in tegenspraak met de stelling 1.11 uit hoofdstuk 1. Dus, voor alle t ∈ (t_{0}, t_{1}), u(t) ∈ GF.

De overige beweringen volgen uit lemma 2.20. □

2.7 De propagator uitgedrukt in reeds gedefinieerde operatoren

Inleiding

We beschouwen enige bijzondere gevallen van het Cauchy-probleem. In deze gevallen zal de oplossing te schrijven zijn als het beeld van de beginwaarde onder een reeds in paragraaf 2.3 gedefinieerde operator. We laten zien dat deze uitdrukking van de oplossing overeenkomt met de algemene uitdrukking die we in de vorige paragraaf hebben geconstrueerd.

Deze paragraaf is ook te lezen als een rechtvaardiging voor de keuze van de ruimte GF: Er zal immers blijken dat, als zekere deelruimte van S′(ℝ) níet invariant is onder één van de operatoren T_{a}, E_{a}, S_{a} of F, dat deze deelruimte dan zéker niet invariant is onder e^{tA}, met \underline{α} erg beschaafd. De in paragraaf 2.3 aangetoonde invariantie-eigenschappen van GF waren dus nodig.

Verder zal blijken dat we, met de resultaten uit paragraaf 2.1, twee commutatie-regels voor de propagatoren op GF kunnen afleiden. Dit wijst in de richting van een mogelijke groepsstructuur van deze objecten op GF.

2.7.1 De operator T_{a} als propagator

Lemma 2.31 Er geldt, voor alle f ∈ S′(ℝ), dat het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u = Du
u(0) = f

voor t ∈ ℝ de oplossing

u(t) = T_{−t}f

heeft. We schrijven daarom:

e^{tD} = T_{−t} .

Bewijs Er geldt, voor alle ϕ ∈ S(ℝ), en voor f ∈ S′(ℝ),

⟨\frac{d}{dt}T_{−t}f, ϕ⟩ = \frac{d}{dt}⟨f, T_{t}ϕ⟩
= ⟨f, \frac{d}{dt}T_{t}ϕ⟩
= −⟨f, DT_{t}ϕ⟩
= −⟨f, T_{t}Dϕ⟩
= ⟨DT_{−t}f, ϕ⟩ ,

immers

\frac{d}{dt}T_{t}ϕ(x) = \frac{d}{dt}ϕ(x − t)
= −\frac{d}{dx}ϕ(x − t)
= −DT_{t}ϕ(x) .
□

We vergelijken dit resultaat met de in paragraaf 2.6 geconstrueerde algemene theorie. Beschouw A(0, 0, 1, 0, 0, 0) = D. Dan is A golfachtig. Beschouw het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u = Du
u(0) = η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))}

met η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))} ≠ 0. Dan geeft stelling 2.3 dat de oplossing van dit Cauchy-probleem, voor t ∈ (t_{0}, t_{1}), gegeven wordt door

u(t) = ∑_{j=0}^{p} υ_{j}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))} .

Nu geldt, volgens definitie 2.8, dat S = ∅, en dus (t_{0}, t_{1}) = ℝ. Verder geldt, volgens definitie 2.10,

μ(t) ≡ μ(0)

en, volgens definitie 2.11 is β(t) de oplossing van

β̇ = −2iμ

dus

β(t) = −2iμ(0)t + β(0) .

Verder zijn de functies υ_{j}(t), 0 ≤ j ≤ p, oplossing van:

υ̇_{0} = −iβυ_{0} ,

en, als p ≥ 3,

υ̇_{1} = −iβυ_{1} + 2υ_{2} ;

als p ≥ 4, 2 ≤ j ≤ p − 2:

υ̇_{j} = −iβυ_{j} + (j + 1)υ_{j+1} ;

als p ≥ 2:

υ̇_{p−1} = −iβυ_{p−1} + pυ_{p} ;

terwijl

υ̇_{p} = −iβυ_{p} ,

met u_{j}(0) = δ_{p,j}. Dit geeft

υ_{p}(t) = exp[∫_{0}^{t}(−2μ(0)t − iβ(0))dτ]
= e^{−iβ(0)t−μ(0)t^{2}} .

Oplossen van de differentiaalvergelijkingen voor de overige coëfficiënten υ_{j} geeft:

υ_{j}(t) = \binom{p}{j}t^{p−j}e^{−iβ(0)t−μ(0)t^{2}}

We vinden inderdaad, met de eerder in lemma 2.11 berekende actie van T_{a}, en in overeenstemming met lemma 2.31,

e^{tD}η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))} = u(t)
= ∑_{j=0}^{n} υ_{j}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))} .

= e^{−iβ(0)t−μ(0)t^{2}} ∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j}t^{p−j}η_{(μ(0))}^{(j+1,β(0)−2iμ(0)t)}
= T_{−t}η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))}

Zoals aangekondigd in paragraaf 2.1.2 werpen deze overwegingen enig licht op de mogelijke groepsstructuur van de propagatoren op de ruimte GF. We kunnen nu, met lemma 2.5, immers schrijven, voor s ∈ I_{\underline{α}_{0}} = ℝ en t ∈ I_{\underline{α}_{1}},

e^{sA(\underline{α}_{0})}e^{tA(\underline{α}_{1})} = e^{tA(\underline{α}_{2})}e^{sA(\underline{α}_{0})}

met

\underline{α}_{0} = (0, 0, 1, 0, 0, 0)
\underline{α}_{1} = (α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
\underline{α}_{2} = (α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} − sα_{1,1}, α_{0,2}, α_{0,1} − 2sα_{0,2}, s^{2}α_{0,2} − sα_{0,1} + α_{0,0}) .

2.7.2 De operatoren E_{a} en S_{a} als propagator

De operator E_{a}

Op dezelfde manier als bij lemma 2.31 is het volgende aan te tonen:

Lemma 2.32 Er geldt, voor t ∈ ℝ,

e^{itX} = E_{−t} .
□

Ook dit is, met de in lemma 2.12 berekende actie van E_{a}, in overeenstemming met de in stelling 2.3 gepresenteerde algemene oplossing van het Cauchy-probleem in GF.

En ook geeft dit, net als in de paragraaf over T_{a}, een commutatie-regel voor propagatoren. Immers, met lemma 2.5, kunnen we nu schrijven, voor s ∈ I_{\underline{α}_{0}} = ℝ en t ∈ I_{\underline{α}_{1}},

e^{sA(\underline{α}_{0})}e^{tA(\underline{α}_{1})} = e^{tA(\underline{α}_{2})}e^{sA(\underline{α}_{0})}

met

\underline{α}_{0} = (0, 0, 0, 0, i, 0)
\underline{α}_{1} = (α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0})
\underline{α}_{2} = (α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0} + 2isα_{0,2}, α_{0,2}, α_{0,1} + isα_{1,1}, −s^{2}α_{0,2} + isα_{1,0} + α_{0,0}) .

De operator S_{a} Voor de operator S_{a} geldt:

S_{e^{a}} = e^{aX D} ,

immers,

u(x, t) = ϕ(e^{t}x)

voldoet aan

\frac{d}{dt}u = X Du
u(0) = ϕ .

Ook dit is in overeenstemming met de resultaten.

2.7.3 De operator F als propagator

Ook de operator F is te schrijven als e^{tA(\underline{α})}. Immers, volgens [T, Theorem 57, p. 81] geldt:

Fψ_{n} = i^{n}ψ_{n}

met ψ_{n} de Hermite-functies (zie bijlage A). Verder geldt, volgens lemma D.3, dat iedere u ∈ S′(ℝ) te schrijven is als

u = ∑_{j=0}^{∞} u_{j}ψ_{j}

met u_{j} ∈ ℂ. Beschouw nu

u(t) = ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(t)ψ_{j} ,

en beschouw de operator H = \frac{1}{2}(X^{2} − D^{2} − 1). Dan H = \frac{1}{2}(Q − 2I), met Q als in hoofdstuk 1, en dus, volgens gelijkheid 1.2,

Hψ_{n} = nψ_{n} .

Dit geeft

e^{tiH}ψ_{n} = e^{nit}ψ_{n} .

Als nu u(t) voldoet aan

\frac{d}{dt}u(t) = iHu(t) , dan

u(t) = e^{tiH}u(0)
= ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(0)e^{tiH}ψ_{j}
= ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(0)e^{jit}ψ_{j}

en dus, met t = \frac{1}{2}π(1 + 4k), k ∈ ℤ,

e^{\frac{1}{2} π(1+4k)iH}u(0) = u(\frac{1}{2}π(1 + 4k))
= ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(0)e^{\frac{1}{2} πij}ψ_{j}

= ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(0)i^{j}ψ_{j}

= ∑_{j=0}^{∞} u_{j}(0)Fψ_{j}
= Fu(0) .

We concluderen:

F = e^{\frac{1}{2} π(1+4k)iH} ,

i.e.

F = e^{tA(\underline{α})}

met

A(\underline{α}) = A(−i, 0, 0, i, 0, −i)
= −iD^{2} + iX^{2} − iI ,
t ∈ \{(k + \frac{1}{4})π | k ∈ ℤ\} .

Ook dit is in overeenstemming met de eerder gevonden uitdrukking voor F op GF, en voor e^{tA} op GF.

In de volgende paragraaf los ik de Schrödingervergelijking voor de harmonische oscillator op. Ook dat kan dienen als illustratie van bovenstaande uitdrukking voor de Fourier-transformatie. (Zie ook de paragraaf 2.8.2.)

2.8 De Schrödinger-vergelijking voor de harmonische oscillator

Inleiding

De Schrödinger-vergelijking luidt

\frac{d}{dt}u = iHu

met H zekere zelfgeadjungeerde operator. Voor de harmonische oscillator is deze vergelijking te schrijven als

\frac{d}{dt}u(t) = (−iD^{2} + iX^{2})u(t) .

Deze vergelijking is ook voor te stellen door de volgende partiële differentiaalvergelijking:

\frac{∂}{∂t}u(x, t) = (ix^{2} − i\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} )u(x, t) .

Merk op dat, wanneer we deze vergelijking schrijven als

\frac{d}{dt}u(t) = A(\underline{α})u(t)

A(\underline{α}) golfachtig is. De resultaten uit paragraaf 2.6.3 leren dan dat het existentie-interval in het algemeen eindig is, en dus níet gelijk aan I\underline{α} = ℝ. Toch kunnen we een oplossing op ℝ vinden: We kunnen immers de (periodieke) singulariteiten omzeilen door ‘op tijd’ de Fourier-getransformeerde van de oplossing te beschouwen. In de volgende paragraaf wordt dit gedemonstreerd.

2.8.1 De oplossing van een Cauchy-probleem voor de Schrödinger-ver-gelijking

Stelling 2.4 Het Cauchy-probleem voor de Schrödinger-vergelijking voor de harmonische oscillator:

\frac{d}{dt}u(t) = (−iD^{2} + iX^{2})u(t)  (2.22)
u(0) = η^{(0,b)}

heeft als oplossing voor t ∈ ℝ:

u(t) = \{ \begin{matrix}υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))} & als t ∈ ℝ \ \{\frac{1}{2}kπ | k ∈ ℤ\}, \\ η^{(1,b)} & als t ∈ \{kπ | k ∈ ℤ\}. \\ η^{(1,−b)} & als t ∈ \{(k + \frac{1}{2})π | k ∈ ℤ\}. \end{matrix}

met, voor t ∈ ℝ \ \{\frac{1}{2}kπ | k ∈ ℤ\},

μ(t) = \frac{1}{2}i cot(2t) ,
β(t) = −\frac{b}{sin(2t)} ,
υ_{0}(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} .

Bewijs Schrijf

u(t) = \{ \begin{matrix}u(t) & als t ∈ [\frac{1}{8}π, \frac{3}{8}π], \\ ǔ(t) & als t ∈ [−\frac{1}{8}π, \frac{1}{8}π]. \end{matrix}

met

u(t) = υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))} .

Het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt} ǔ(t) = (−iD^{2} + iX^{2})u(t)
ǔ(0) = η^{(0,b)}

heeft de oplossing ǔ(t), dan en slechts dan als

\frac{d}{dt} û(t) = (−iD^{2} + iX^{2})û(t)
û(0) = \frac{1}{\sqrt{2π}} η_{(0)}^{(1,−b)} ,

met û(t) = Fǔ(t); immers, F(−iD^{2} + iX^{2})F^{−1} = −iD^{2} + iX^{2}.

Er geldt −iD^{2} + iX^{2} = A(−i, 0, 0, i, 0, 0) = A(\underline{α}) met \underline{α} = (−i, 0, 0, i, 0, 0): α_{2,0} = −i, α_{0,2} = i, de overige α’s zijn 0. We zien: A(\underline{α}) is golfachtig. α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2} = −4 < 0. ω = 2i, μ_{+} = −\frac{1}{2}, μ_{−} = \frac{1}{2}. Omdat verder 0 = μ̌(0) ≠ ±\frac{1}{2} is S van type drie, λ̌_{0} = −4i. Met lemma 2.24 volgt dat voor alle k ∈ ℤ, Š(\underline{α}, 0) ∩ [(k − \frac{1}{4})\frac{1}{2}π, (k + \frac{1}{4})\frac{1}{2}π] = ∅.

We zullen de oplossing construeren met volledige inductie. Met stelling 2.3 geldt dat voor t ∈ [−\frac{1}{8}π, \frac{1}{8}π] de uitdrukking

û(t) = υ̂(t)η_{(μ̂(t))}^{(1,β̂(t))}

oplossing is van het bovenstaande Cauchy-probleem. De functie μ̂(t) zal daarbij voldoen aan

μ̂(t) = μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} + (λ_{0} − 2α_{2,0})e^{2ωt}}
= −\frac{1}{2} + \frac{1}{1 + e^{4it}}
= −\frac{1}{2}i tan(2t)

De functies β̂(t) en υ̂(t) zijn als in definitie 2.11: ze zullen, voor t ∈ [−\frac{1}{8}π, \frac{1}{8}π], oplossing zijn van

˙β̂ = 4iμ̂β̂
= 2 tan(2t)β̂
β̂(0) = −b ,

dus

β̂ = −b exp[2 ∫_{0}^{t} tan(2τ)dτ]
= −be^{− log | cos(2t)|}
= −\frac{b}{cos(2t)}

en van

˙υ̂ = (2iμ̂ + iβ̂^{2})υ̂
= (tan(2t) + i\frac{b^{2}}{cos^{2}(2t)})υ̂
υ̂(0) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ,

dus

υ̂(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} exp[∫_{0}^{t}(tan(2τ) + i\frac{b^{2}}{cos^{2}(2τ)})dτ]
= \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{\sqrt{cos(2t)}}e^{\frac{1}{2} ib^{2} tan(2t)} .

Merk op dat voor alle t ∈ ℝ: Re(μ̂(t)) = 0. Verder:

μ̂(\frac{1}{8}π) = −\frac{1}{2}i tan(\frac{1}{4}π)
= −\frac{1}{2}i .

Nu geldt, met lemma 2.18, dat ǔ(t) = F^{−1}û(t) voor t ∈ [−\frac{1}{8}π, \frac{1}{8}π] oplossing is van het oorspronkelijke Cauchy-probleem 2.22. Voor t ∈ [−\frac{1}{8}π, \frac{1}{8}π] \ \{0\} is μ̂(t) ≠ 0, en is, volgens lemma 2.7, ǔ(t) dus te schrijven als

ǔ(t) = F^{−1}û(t)
= υ̂_{0}(t)F^{−1}η_{(μ̂(t))}^{(1,β̂(t))}
= υ̂_{0}(t)2^{− \frac{1}{2}} exp[−\frac{β̂(t)^{2}}{4μ̂(t)}]μ̂(t)^{− \frac{1}{2}} η_{( \frac{1}{4μ̂(t)} )}^{(1,− \frac{iβ̂(t)}{2μ̂(t)} )}
= υ̌_{0}(t)η_{(μ̌(t))}^{(1,β̌(t))} ,

met

υ̌_{0}(t) = υ̂_{0}(t)2^{− \frac{1}{2}} exp[−\frac{β̂(t)^{2}}{4μ̂(t)}]μ̂(t)^{− \frac{1}{2}}
= \frac{(1 + i) exp[\frac{1}{2}ib^{2}(tan(2t) − \frac{2}{sin(4t)})]}{2\sqrt{π sin(2t)}}

= \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} ,

β̌(t) = −\frac{iβ̂(t)}{2μ̂(t)}
= −\frac{b}{sin(2t)}
μ̌(t) = \frac{1}{4μ̂(t)}
= \frac{1}{2}i cot(2t) .

Er geldt

μ̌(\frac{1}{8}π) = \frac{1}{4μ̂(\frac{1}{8}π)}
= \frac{1}{2}i ,
β̌(\frac{1}{8}π) = −\sqrt{2}b ,
υ̌_{0}(\frac{1}{8}π) = \frac{(1 + i)e^{− \frac{1}{2} ib^{2}}}{2^{\frac{3}{4}} \sqrt{π}} .

Schrijf nu u_{(1)}(t) = u(t + \frac{1}{8}π). Dan voldoet u_{(1)}(t) aan

\frac{d}{dt}u_{(1)}(t) = (−iD^{2} + iX^{2})u_{(1)}(t)  (2.23)
u_{(1)}(0) = υ(\frac{1}{8}π)η_{(μ( \frac{1}{8} π))}^{(1,β( \frac{1}{8} π))}
= υ̌(\frac{1}{8}π)η_{( \frac{1}{2} i)}^{(1,β̌( \frac{1}{8} π))} .

We schrijven

u_{(1)}(t) = υ_{(1)}(t)η_{(μ_{(1)}(t))}^{(1,β_{(1)}(t))} .

Dan μ_{(1)}(0) = \frac{1}{2}i. Dus Re(4α_{2,0}μ_{(1)}(0) − α_{1,1}) = 2, en we vinden, op grond van lemma 2.25, dat voor alle k ∈ ℤ,

S_{(1)}(\underline{α}, \frac{1}{2}i) ∩ [k \frac{1}{2}π, (k + \frac{1}{2})\frac{1}{2}π] = ∅ .

Dit geeft het existentie-interval [t_{0}, t_{1}]_{(1)} = [0, \frac{1}{4}π], dus [t_{0}, t_{1}] = [\frac{1}{8}π, \frac{3}{8}π]. Met stelling 2.3 volgt nu dat, voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π], u_{(1)}(t) oplossing is van het Cauchy-probleem 2.23, als het volgende geldt: Er geldt

λ_{0(1)} := \frac{ω}{μ_{+} − μ_{(1)}(0)}
= −2(1 + i)

en dus, voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π],

μ_{(1)}(t) = μ_{+} − \frac{ω}{2α_{2,0} + (λ_{0(1)} − 2α_{2,0})e^{2ωt}}
= −\frac{1}{2} + \frac{i}{i + e^{4it}}
= −\frac{1}{2} + \frac{1}{1 − e^{4i(t+ \frac{1}{8} π)}}
= \frac{1}{2}i cot(2(t + \frac{1}{8}π)) .

Verder zullen β_{(1)}(t) en υ_{(1)}(t) zijn als in de definities 2.10 en 2.11: voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π]:

β̇_{(1)}(t) = 4iμ_{(1)}(t)β_{(1)}(t)
= −2 cot(2t + \frac{1}{4}π)β_{(1)}(t)
β_{(1)}(0) = β̌(\frac{1}{8}π)
= −\sqrt{2}b

dus

β_{(1)}(t) = −\frac{b}{sin(2(t + \frac{1}{8}π))}

en

υ̇_{(1)}(t) = (2iμ_{(1)}(t) + iβ_{(1)}^{2}(t))υ_{(1)}(t)
υ_{(1)}(0) = υ̌(\frac{1}{8}π)
= \frac{(1 + i)e^{− \frac{1}{2} ib^{2}}}{2^{\frac{3}{4}} \sqrt{π}}

dus

υ_{(1)}(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2(t + \frac{1}{8}π))]}{2\sqrt{π sin(2(t + \frac{1}{8}π))}} .

Dit alles betekent, voor t ∈ [\frac{1}{8}π, \frac{3}{8}π]:

μ(t) = \frac{1}{2}i cot(2t) ,
β(t) = −\frac{b}{sin(2t)} ,
υ(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} .

We formuleren de inductie-veronderstelling: Stel, dat voor zekere n ∈ ℕ geldt, voor t ∈ [(n − \frac{1}{4})\frac{1}{2}π, (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π] \ \{\frac{1}{2}nπ\}:

u(t) = υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}

met

μ(t) = \frac{1}{2}i cot(2t) ,
β(t) = −\frac{b}{sin(2t)} ,
υ(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} ,

terwijl,

u(\frac{1}{2}nπ) = \{ \begin{matrix}η^{(0,b)} & als n even, \\ η^{(0,−b)} & als n oneven. \end{matrix}

We zetten de inductiestap. Er geldt, voor û_{(n)}(t) := Fu(t + (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π), dat

û_{(n)}(0) = Fu((n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)
= F \frac{(1 + i)e^{\frac{1}{2} ib^{2}}}{2\sqrt{−\frac{1}{2} \sqrt{2}(−1)^{n}π}} η_{(− \frac{1}{2} i)}^{(1,\sqrt{2}b(−1)^{n})}

= \frac{(1 + i)e^{\frac{1}{2} ib^{2}}}{2^{\frac{3}{4}} \sqrt{π}i^{n+1}} i^{\frac{1}{2}} e^{−ib^{2}}η_{( \frac{1}{2} i)}^{(1,−\sqrt{2}b(−1)^{n})}
= \frac{(−i)^{n}}{2^{\frac{1}{4}} \sqrt{π}} e^{− \frac{1}{2} ib^{2}}η_{( \frac{1}{2} i)}^{(1,\sqrt{2}b(−1)^{n})} .

Op grond van lemma 2.25, kunnen we schrijven, voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π],

û_{(n)}(t) = υ̂_{(n)}(t)η_{(μ̂_{(n)}(t))}^{(1,β̂_{(n)}(t))} ,

en er zal gelden

μ̂_{(n)}(t) = −\frac{1}{2}i tan(2t + \frac{3}{4}π) ;

β̂_{(n)}(t) zal oplossing zijn van

˙β̂_{(n)}(t) = 2 tan(2t + \frac{3}{4}π)β̂_{(n)}(t)
β̂_{(n)}(0) = −\sqrt{2}b(−1)^{n} ,

dus, voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π],

β̂_{(n)}(t) = \frac{(−1)^{n}b}{cos(2t + \frac{3}{4}π)}

terwijl υ̂_{(n)}(t) oplossing zal zijn van

˙υ̂_{(n)}(t) = (tan(2t + \frac{3}{4}π) + \frac{2b^{2}}{cos^{2}(2t + \frac{3}{4}π)})υ̂_{(n)}(t)
υ̂_{(n)}(0) = \frac{(−i)^{n}}{2^{\frac{1}{4}} \sqrt{π}} e^{− \frac{1}{2} ib^{2}}

dus

υ̂_{(n)}(t) = \frac{(−i)^{n}}{2^{\frac{1}{4}} \sqrt{π cos(2t + \frac{3}{4}π)}} exp[\frac{1}{2}ib^{2} tan(2t + \frac{3}{4}π)] .

Voor

u(t) = F^{−1}û_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)
= υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}

betekent dit alles, voor t ∈ [(n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π, (n + \frac{5}{4})\frac{1}{2}π] \ \{(n + 1)\frac{1}{2}π\}:

μ(t) = \frac{1}{2}i cot(2t) ,
β(t) = −\frac{iβ̂_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)}{2μ̂_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)}
= −\frac{b}{sin(2t)} ,

en

υ(t) = 2^{− \frac{1}{2}} υ̂_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)μ̂_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)^{− \frac{1}{2}} exp[−\frac{β̂_{(n)}^{2}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)}{4μ̂_{(n)}(t − (n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π)}]

= \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} ,

terwijl voor u((n + 1)\frac{1}{2}π) geldt:

u((n + 1)\frac{1}{2}π) = F^{−1}û_{(n)}(\frac{1}{8}π))
= û_{(n)}(\frac{1}{8}π)F^{−1}η_{(μ̂_{(n)}( \frac{1}{8} π))}^{(1,β̂_{(n)}( \frac{1}{8} π))}
= \frac{1}{\sqrt{2π}} F^{−1}η_{(0)}^{(1,(−1)^{n}b)}
= η^{(0,(−1)^{n+1}b)} .  (2.24)

Schrijf nu

u(t + (n + \frac{5}{4})\frac{1}{2}π) =: u_{(n)}(t)
= η_{(μ_{(n)}(t))}^{(1,β_{n}(t))}

dan μ_{(n)}(0) = \frac{1}{2}i, dus we vinden, met lemma 2.25, het existentie-interval [t_{0}, t_{1}]_{(n)} = [0, \frac{1}{4}π]. Met stelling 2.3 volgt dat, voor t ∈ [0, \frac{1}{4}π], u_{(n)}(t) oplossing is van het Cauchy-probleem 2.23, als geldt

μ_{(n)}(t) = \frac{1}{2}i cot(2t + (n + \frac{5}{4})π)

terwijl

β_{(n)}(t) = −\frac{b}{sin(2t + (n + \frac{5}{4})π)} ,

υ_{(n)}(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t + (n + \frac{5}{4})π)]}{2\sqrt{π sin(2t + (n + \frac{5}{4})π)}} ,

met t ∈ [0, \frac{1}{4}π]. Dit betekent, voor t ∈ [(n + \frac{5}{4})\frac{1}{2}π, (n + \frac{7}{4})\frac{1}{2}π], en, merk op, óók voor t ∈ [(n + \frac{3}{4})\frac{1}{2}π, (n + \frac{5}{4})\frac{1}{2}π] \ \{(n + 1)\frac{1}{2}π\}:

μ(t) = \frac{1}{2}i cot(2t) ,
β(t) = −\frac{b}{sin(2t)} ,

en

υ(t) = \frac{(1 + i) exp[−\frac{1}{2}ib^{2} cot(2t)]}{2\sqrt{π sin(2t)}} .

Dit betekent, voor t ∈ [(\{n + 1\} − \frac{1}{4})\frac{1}{2}π, (\{n + 1\} + \frac{3}{3})\frac{1}{2}π] \ \{\frac{1}{2}(n + 1)π\},

u(t) = υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}

Met gelijkheid 2.24 geeft dit de inductie-stap. Met de inductieveronderstelling en het eerste gedeelte van dit bewijs vinden we:

u(t) = \{ \begin{matrix}η^{(0,b)} & als t = nπ, n ∈ ℕ, \\ η^{(0,−b)} & als t = (n + \frac{1}{2})π, n ∈ ℕ, \\ υ(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))} & als t ∈ [−\frac{1}{8}π, ∞) \ \{0, \frac{1}{2}π, π, ...\}. \end{matrix}

Voor t < −\frac{1}{8}π kunnen we op een analoge manier de oplossing vinden. □

We merken nog op dat voor bovenstaande oplossing u(t) geldt: voor k ∈ ℤ:

u((k + \frac{1}{2})\frac{1}{2}π) = \frac{(−i)^{k+ \frac{1}{2}}}{\sqrt{2π}} η_{(0)}^{(1,(−1)^{k}b)}
= \frac{(−i)^{k+ \frac{1}{2}}}{\sqrt{2π}} exp[(−i)^{k+ \frac{3}{2}} x] .

2.8.2 Het verband met de Fourier-transformatie

Schrijf v(t) = e^{−it}u(t), met u(t) de oplossing van bovenstaande Schrödinger-vergelijking. Dan geldt

\frac{d}{dt}v(t) = (\frac{d}{dt}u(t) − iu(t))e^{−it}
= (−iD^{2} + iX^{2} − iI)u(t)e^{−it}
= (−iD^{2} + iX^{2} − iI)v(t) ,

dus volgens het resultaat van paragraaf 2.7.3 geldt, voor t = (k + \frac{1}{4})π, k ∈ ℤ,

\frac{1}{2} \sqrt{2}(1 − i)(−1)^{k}u(t) = e^{−it}u(t)
= v(t)
= Fv(0)
= Fu(0)

en dus ook

Fu(t) = \frac{1}{2} \sqrt{2}(1 − i)(−1)^{k}u(t + (k + \frac{1}{4})π) .

Door substitutie is na te gaan dat onze oplossing inderdaad deze eigenschap heeft.

Een aanzet tot een algebraïsche structuur op de ruimte GF, aanbevelingen en conclusies

Inleiding

In dit hoofdstuk voorzien we GF van een algebraïsche structuur, door, in paragraaf 3.1, drie produkten in te voeren. Met deze produkten kunnen we, voor een speciale keuze van de coëfficiënt \underline{α}, de oplossing van het Cauchy-probleem voor A(\underline{α}) beschrijven. Dit gebeurt in paragraaf 3.2. De produkten dienen echter met de nodige terughoudendheid tegemoet te worden getreden. In paragraaf 3.3 zal immers blijken dat de basis van GF, die we in het vorige hoofdstuk hebben ingevoerd, voor verbetering vatbaar is. We besluiten dit hoofdstuk met paragraaf 3.4: conclusies.

3.1 Drie produkten

Inleiding

GF is, net als GF_{t}, en in tegenstelling tot S′(ℝ), te voorzien van algebraïsche structuren, zoals een puntprodukt, een convolutieprodukt en een scalair produkt.

We zijn geïnteresseerd in de vraag of zo’n scalair produkt zó te kiezen is dat, als A golfachtig is, de propagator e^{tA} unitair is. Deze vraag zal hier niet beantwoord worden. Ik zal in deze paragraaf slechts enige ideeën over deze produkten laten zien.

We schrijven O_{M} voor de verzameling functies f ∈ C^{∞}(ℝ) waarvoor geldt dat er, voor alle n ∈ ℕ, constanten N(n) en C(n) zijn, zodanig dat voor alle x ∈ ℝ

|\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)| ≤ C(1 + x^{2})^{N} .

Er geldt: O_{M} ⊂ S′(ℝ). (Zie [R&S 1, Example 7, p. 137].)

Alvorens we de produkten invoeren, definiëren we een complexe conjugatie op GF:

Definitie 3.1 We definiëren de complexe conjugatie \overline{·} op GF:

\overline{η}_{(μ)}^{(p+1,α)} := η_{(\overline{μ})}^{(p+1,−\overline{α})}
\overline{η}^{(−q,b)} := η^{(−q,b)}

terwijl voor alle f, g ∈ GF en α ∈ ℂ,

\overline{αf} = \overline{α}\overline{f} , \overline{f + g} = \overline{f} + \overline{g} .
□

Er geldt, in klassieke zin,

\overline{η_{(μ)}^{(p+1,α)}}(x) = η_{(\overline{μ})}^{(p+1,−\overline{α})}(x)

dus de definitie van de complexe conjugatie op GF is een uitbreiding van de klassieke complexe conjugatie.

3.1.1 Een scalair produkt op GF

Als f ∈ O_{M} en ϕ ∈ S(ℝ), dan is ⟨f, ϕ⟩ te schrijven als

⟨f, ϕ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} f(x)\overline{ϕ(x)}dx .

We beperken deze sesquilineaire vorm tot een produkt op (GF ∩ O_{M}) × (GF ∩ S(ℝ)). We zullen dit beperkte produkt nu uitbreiden tot een produkt op GF × GF. Bedenk dat GF ∩ O_{M} = GF_{+}.

Er geldt, voor Re(μ) > 0 en Re(ν) > 0, omdat η_{(μ)}^{(p+1,α)} ∈ S(ℝ),

⟨η_{(μ)}^{(p+1,α)}, η_{(ν)}^{(q+1,β)}⟩ = ∫_{−∞}^{∞} x^{p+q}e^{i(α−\overline{β})x−(μ+\overline{ν})x^{2}}dx
= I_{p+q}(i(α − \overline{β}), μ + \overline{ν}) ,

waar

I_{p}(α, μ) := \frac{1}{\sqrt{μ}^{p+1}} e^{\frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j}Γ(\frac{1}{2}j + \frac{1}{2})(\frac{α}{2\sqrt{μ}})^{p−j} .

Dit volgt op een soortgelijke manier als bij de berekening van Fη_{(μ)}^{(p+1,β)} in paragraaf 2.3.1. Merk op dat I_{p}(α, μ) een analytische functie van μ is voor μ ∈ ℂ\(−∞, 0]. Dus I_{p+q}(i(α − \overline{β}), μ + \overline{ν}) is, voor Re(μ) ≥ 0, μ ≠ 0, een analytische functie van ν in het gebied Re(ν) ≥ 0. De uitdrukking I_{p+q}(i(\overline{α} − β), \overline{μ} + ν) heeft dus betekenis voor Re(μ) ≥ 0, Re(ν) ≥ 0, μ, ν niet beide nul.

Beschouw vervolgens, voor Re(μ) > 0, ⟨η^{(−q,b)}, η_{(μ)}^{(p+1,α)}⟩. Er geldt η_{(μ)}^{(p+1,α)} ∈ S(ℝ), en we kunnen dus schrijven:

⟨η^{(−q,b)}, η_{(μ)}^{(p+1,α)}⟩ = \frac{1}{(−1)^{q}q!} ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{i\overline{α}x−\overline{μ}x^{2}} \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b)dx
= \frac{1}{q!} ∫_{−∞}^{∞} \frac{d^{q}}{dx^{q}} [x^{p}e^{i\overline{α}x−\overline{μ}x^{2}}]δ(x − b)dx

= ∑_{j=0}^{min\{p,q\}} \frac{1}{(q − j)!}\binom{p}{j} ∫_{−∞}^{∞} x^{p−j} \frac{d^{q−j}}{dx^{q−j}} [e^{i\overline{α}x−\overline{μ}x^{2}}]δ(x − b)dx

= ∑_{j=0}^{min\{p,q\}} \frac{1}{(q − j)!}\binom{p}{j}b^{p−j}D_{q−j}(α, b, μ) ,

met, voor àlle μ ∈ ℂ,

D_{q−j}(α, b, μ) := \frac{d^{q−j}}{dx^{q−j}} [e^{i\overline{α}x−\overline{μ}x^{2}}]˘|_{x=b} .

De uitdrukkingen I en D zijn eventueel nog in Hermite-polynomen uit te drukken. Blijkbaar kunnen we zonder problemen het definitiegebied van ⟨·, ·⟩ uitbreiden, en definiëren:

Definitie 3.2 We definiëren het scalair produkt ⟨·, ·⟩ op GF^{2}:

⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η_{(0)}^{(q+1,b)}⟩ := 0
⟨η^{(−p,a)}, η^{(−q,b)}⟩ := 0
⟨η_{(μ)}^{(p+1,α)}, η_{(ν)}^{(q+1,β)}⟩ := I_{p+q}(i(α − \overline{β}), μ + \overline{ν})  μ, ν niet beide 0.
⟨η^{(−q,b)}, η_{(μ)}^{(p+1,α)}⟩ := ∑_{j=0}^{min\{p,q\}} \frac{1}{(q − j)!}\binom{p}{j}b^{p−j}D_{q−j}(α, b, μ) ,

met I en D als boven. Het scalair produkt is sesquilineair en anticommutatief, i.e. voor alle f, g ∈ GF

⟨αf, g⟩ = α⟨f, g⟩
⟨f, αg⟩ = ⟨\overline{α}f, g⟩
⟨f, g + h⟩ = ⟨f, g⟩ + ⟨f, h⟩
⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩} ,

Deze definitie is zinnig: voor alle f, g ∈ GF kunnen we met deze regels ⟨f, g⟩ bepalen. □

Merk op dat nu geldt:

⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η^{(−q,b)}⟩ = e^{iab}(ia)^{q−p} ∑_{k=0}^{min\{p,q\}} \binom{p}{k}\frac{(iab)^{p−k}}{(q − k)!} .

Merk verder op dat ⟨η_{(0)}^{(1,0)} − η^{(0,0)}, η_{(0)}^{(1,0)} − η^{(0,0)}⟩ = −2 < 0. Het produkt ⟨·, ·⟩ is dus géén inprodukt, en brengt dus géén norm voort. Wel voldoet ons scalair produkt aan de polarisatiegelijkheid:

⟨f, g⟩ = \frac{1}{4}(⟨f + g, f + g⟩ − ⟨f − g, f − g⟩ + i⟨f − ig, f − ig⟩ − i⟨f + ig, f + ig⟩)

en aan de parallellogram-gelijkheid:

⟨f + g, f + g⟩ + ⟨f − g, f − g⟩ = 2(⟨f, f⟩ + ⟨g, g⟩) .

(Zie ook [W, p. 2].) Verder brengen we de eigenschap

⟨η_{(0)}^{(p+1,−a)}, η^{(−q,b)}⟩ = \overline{⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η^{(−q,b)}⟩}

onder de aandacht. We merken op: als we de uitdrukking ⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η^{(−q,b)}⟩ in klassieke zin een betekenis willen geven, en net doen alsof x^{p}e^{iax} tot een zekere klasse van testfuncties behoort, dan geldt

⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η^{(−q,b)}⟩ = \frac{1}{(−1)^{q}q!} ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{iax} \frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b)dx
= \frac{1}{q!} \frac{d^{q}}{dx^{q}} x^{p}e^{iax}˘|_{x=b}

= \frac{1}{q!} ∑_{j=0}^{min\{p,q\}} \binom{q}{j}\frac{p!}{(p − j)!}b^{p−j}(ia)^{q−j}e^{iab}

= e^{iab}(ia)^{q−p} ∑_{k=0}^{min\{p,q\}} \binom{p}{k}\frac{(iab)^{p−k}}{(q − k)!} ,

in overeenstemming met onze definitie van ⟨η_{(0)}^{(p+1,a)}, η^{(−q,b)}⟩.

Het scalair produkt op GF × GF is niet gedegenereerd: als f ∈ GF zodanig, dat voor alle g ∈ GF: ⟨f, g⟩ = 0, dan f = 0. Verder geldt, voor alle f, g ∈ GF,

\overline{⟨f, g⟩} = ⟨\overline{f}, \overline{g}⟩
⟨Ff, Fg⟩ = ⟨f, g⟩ ,
⟨T_{a}f, T_{a}g⟩ = ⟨f, g⟩ ,
⟨S_{a}f, S_{a}g⟩ = \frac{1}{a}⟨f, g⟩ .

Dit is door eenvoudigweg de basiselementen in te vullen na te gaan. De berekeningen die daarbij uitgevoerd dienen te worden, zijn echter nogal omvangrijk. Een computer-algebra pakket kan hier voor enige verlichting zorgen.

3.1.2 Een puntprodukt op GF

Definieer, voor alle M ∈ O_{M}, de operator M··· op S′(ℝ) door: voor alle f ∈ S′(ℝ), ϕ ∈ S(ℝ),

⟨M···f, ϕ⟩ = ⟨f, \overline{M}ϕ⟩ ,

met (\overline{M}ϕ)(x) := \overline{M(x)}ϕ(x). Deze definitie is zinvol, immers M beeldt S(ℝ) continu in S(ℝ) af. We definiëren nu het volgende puntprodukt op GF × GF:

Definitie 3.3 We definiëren het puntprodukt ····· op GF × GF door:

η^{(−p,a)}···η^{(−q,b)} := 0
η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η_{(ν)}^{(q+1,β)} := η_{(μ+ν)}^{(p+q+1,α+β)}
η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η^{(−q,b)} := ∑_{j=0}^{q} \frac{1}{j!}D_{j,p}(α, b, μ)η^{(−q,b)}

met D als boven:

D_{j,p}(α, b, μ) := \frac{d^{j}}{dx^{j}} [x^{p}e^{−iαx−μx^{2}}]˘|_{x=b} .

Het puntprodukt zal bilineair en commutatief zijn:

(f···αg) = α(f···g)
(f···(g + h)) = (f···g) + (f···h)
(f···g) = (g···f) .
□

Het produkt van η_{(0)}^{(p+1,a)} en η^{(−q,b)} is nu te schrijven als

η_{(0)}^{(p+1,a)}···η^{(−q,b)} = e^{−iab} ∑_{j=0}^{q} ∑_{k=0}^{min\{p,j\}} \binom{p}{k}\frac{(−ia)^{j−k}b^{p−k}}{(j − k)!} η^{(−q+j,b)} .

Dit puntprodukt komt op (GF∩O_{M})×GF overeen met het puntprodukt op O_{M} ×S′(ℝ). Immers, beschouw η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η^{(−q,b)}. Er geldt, voor ϕ ∈ S(ℝ),

⟨(η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η^{(−q,b)}), ϕ⟩
= ⟨η^{(−q,b)}, (\overline{η_{(μ)}^{(p+1,α)}}···ϕ)⟩
= \frac{1}{(−1)^{q}q!} ∫_{−∞}^{∞} x^{p}e^{−iαx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}\frac{d^{q}}{dx^{q}} δ(x − b)dx
= \frac{1}{q!} ∫_{−∞}^{∞} \frac{d^{q}}{dx^{q}} [x^{p}e^{−iαx−μx^{2}} \overline{ϕ(x)}]δ(x − b)dx

= \frac{1}{q!} ∑_{j=0}^{q} \binom{q}{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}} [x^{p}e^{−iαx−μx^{2}}]\frac{d^{q−j}}{dx^{q−j}} [\overline{ϕ(x)}]˘|_{x=b}

= \frac{1}{q!} ∑_{j=0}^{q} \binom{q}{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}} [x^{p}e^{−iαx−μx^{2}}]˘|_{x=b} ∫_{−∞}^{∞} δ(x − b)\frac{d^{q−j}}{dx^{q−j}} [\overline{ϕ(x)}]dx

= ∑_{j=0}^{q} \frac{(−1)^{q−j}}{q!} \binom{q}{j}D_{j,p}(α, b, μ)⟨\frac{d^{q−j}}{dx^{q−j}} δ(x − b), ϕ⟩

= ∑_{j=0}^{q} \frac{1}{j!}D_{j,p}(α, b, μ)⟨η^{(−q,b)}, ϕ⟩ .

Dit betekent

(η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η^{(−q,b)}) = ∑_{j=0}^{q} \frac{1}{j!}D_{j,p}(α, b, μ)η^{(−q,b)} .

Dat ook de uitdrukking voor η_{(μ)}^{(p+1,α)}···η_{(ν)}^{(q+1,β)} overeenkomt met het puntprodukt op O_{M} × S′(ℝ) is triviaal.

Door eenvoudigweg de basiselementen in te vullen is na te gaan dat nu geldt

T_{a}f···T_{a}g = T_{a}(f···g) ,
S_{a}f···S_{a}g = S_{a}(f···g) ,
D(f···g) = Df···g + f···Dg ,
E_{a}f···E_{b}g = E_{a+b}(f···g) ,
P(f···g) = Pf···Pg .

Verder geldt

⟨E_{a}f, g⟩ = ⟨E_{a}e, \overline{f}···g⟩

met e = η_{(0)}^{(1,0)}. Blijkbaar gedraagt ons puntprodukt zich zoals we van een puntprodukt mogen verwachten. Ook voor de verificatie van deze eigenschappen is het gebruik van een computeralgebra pakket niet overdreven.

3.1.3 Een convolutieprodukt op GF

We kunnen onze ruimte GF nu ook voorzien van een convolutieprodukt, door te definiëren, voor alle u, v ∈ GF,

u ∗ v := \sqrt{2π}F^{−1}(Fu···Fv) .

Omdat F en het puntprodukt zich ‘goed’ gedragen, gedraagt dit convolutieprodukt zich ook ‘goed’.

3.1.4 Lodders ruimte GF_{t} als deelruimte van GF

Lodders ruimte GF_{t}

De lineaire afbeeldingen en produkten in Lodders ruimte GF_{t} zijn zo op de basiselementen η_{(0)}^{(p+1,0)} en η^{(−q,0)} gedefinieerd, dat voldaan is aan de volgende eisen: Het puntprodukt en het convolutieprodukt zijn bilineair, commutatief en niet gedegenereerd, en het scalair produkt is sesquilineair, anticommutatief en niet gedegenereerd; en

P^{2} = I
F^{2} = P
DX − X D = I
PD = −DP
iX F = FD
F^{∗} = F^{−1}
D(f···g) = Df···g + f···Dg
P(f···g) = Pf···Pg
f ∗ g = \sqrt{2π}F^{−1}(Ff···Fg)
\overline{⟨f, g⟩} = ⟨\overline{f}, \overline{g}⟩
⟨f, g⟩ = ⟨e, \overline{f}···g⟩ ,

waarbij F^{∗} slaat op de ‘geadjungeerde’ van F ten aanzien van het scalair produkt ⟨·, ·⟩. (Zie ook [L, Chapter 2, pp. 7-16].)

De structuur op GF

Met de drie hierboven ingevoerde produkten is GF van dezelfde algebraïsche structuur voorzien als Lodders GF_{t}. Deze produkten zijn uitbreidingen van de overeenkomstige produkten op GF_{t}. De opgesomde verbanden tussen de operatoren X , D, F en P en de drie produkten leren dat de algebraïsche structuur van GF_{t} behouden blijft onder deze uitbreiding. Ook de commutatie-regels voor de operatoren X , D, F en P op GF_{t} blijven behouden: immers, volgens bijlage D gelden deze regels zelfs op S′(ℝ).

3.2 De oplossing van het Cauchy-probleem voor een differentiaaloperator A van eerste orde in de ruimte GF, uitgedrukt in het puntprodukt

We beschouwen het Cauchy-probleem in GF voor A(\underline{α}) met α_{2,0} = 0. A is dan een differentiaaloperator van eerste orde.

Lemma 3.1 Als A = A(0, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0}), met α_{1,1} en α_{1,0} zuiver reëel en òf α_{1,1} > 0 en Re(α_{0,2}) ≥ 0 òf α_{1,1} < 0 en Re(α_{0,2}) ≤ 0, dan heeft, voor alle ϕ ∈ GF het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u = Au
u(0) = ϕ ,

met t ≥ 0, de oplossing

u(t) = u_{0}(t)(S_{e^{α_{1,1}t}} T_{−C(t)} ϕ)···η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}

met

C(t) = \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} (1 − e^{−α_{1,1}t})

en

u_{0}(t) = exp[\frac{α_{1,0}}{α_{1,1}^{3}} \{\frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t}
+ (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + \frac{3}{2}α_{1,0}α_{0,2} − α_{1,1}α_{0,1}\}
+ \frac{1}{α_{1,1}^{2}} (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + α_{1,0}^{2}α_{0,2} − α_{1,1}α_{1,0}α_{0,1})t]
β(t) = \frac{i}{α_{1,1}^{2}} \{α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + α_{1,0}α_{0,2} − α_{1,1}α_{0,1}\}
μ(t) = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} (1 − e^{2α_{1,1}t})

(Merk op dat dit een veralgemenisering is van de in paragraaf 2.7 afgeleide uitdrukking e^{tX D} = S_{e^{t}}.) Bewijs We formuleren het Cauchy-probleem voor A = A(0, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0}):

u_{t} − (α_{1,1}x + α_{1,0})u_{x} − (α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0})u = 0
u(x, 0) = ϕ(x) .

Dit probleem kunnen we oplossen met de methode der karakteristieke coördinaten. Voor deze coördinaten σ, τ geldt:

∂_{τ} x = −α_{1,1}x − α_{1,0}
x(σ, 0) = σ

en

∂_{τ} t = 1
t(σ, 0) = 0

ofwel

x(σ, τ) = (σ + \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )e^{−α_{1,1}τ} − \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}}
= (σ + C(−τ))e^{−α_{1,1}τ} ,
t(σ, τ) = τ ,

met

C(t) = \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} (1 − e^{−α_{1,1}t}) .

(Bedenk dat α_{1,1} ≠ 0.) We zien:

σ(x, t) = (x + \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} (1 − e^{−α_{1,1}t}))e^{α_{1,1}t}
= (x + C(t))e^{α_{1,1}t} ,
τ(x, t) = t .

Het Cauchy-probleem voor u = u(σ, τ) wordt

u_{τ} = (α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0})u
u(σ, 0) = ϕ(x(σ, 0)) ,

met x = x(σ, τ). Dit geeft

u(σ, τ) = ϕ(x(σ, 0)) exp ∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x(σ, t)^{2} + α_{0,1}x(σ, t) + α_{0,0}}dt ,

Nu geldt, omdat t = −\frac{1}{α_{1,1}} log \frac{α_{1,1}x+α_{1,0}}{α_{1,1}σ+α_{1,0}} , met β_{1} = α_{1,0}α_{0,2} − α_{1,1}α_{0,1},

∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x(σ, t)^{2} + α_{0,1}x(σ, t) + α_{0,0}}dt

= − ∫_{σ}^{x} \frac{α_{0,2}ξ^{2} + α_{0,1}ξ + α_{0,0}}{α_{1,1}ξ + α_{1,0}} dξ
= −\frac{1}{α_{1,1}^{2}} ∫_{σ}^{x}[α_{1,1}α_{0,2}ξ − β_{1} + \frac{α_{1,1}^{2}α_{0,0}+β_{1}α_{1,0}}{α_{1,1}ξ+α_{1,0}} ]dξ
= −\frac{1}{α_{1,1}^{2}} [\frac{1}{2}α_{1,1}α_{0,2}ξ^{2} − β_{1}ξ + \frac{1}{α_{1,1}} (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + β_{1}α_{1,0}) log(α_{1,1}ξ + α_{1,0})]|_{σ}^{x}
= −\frac{1}{α_{1,1}^{2}} [\frac{1}{2}α_{1,1}α_{0,2}(x^{2} − (x + C(t))^{2}e^{2α_{1,1}t}) − β_{1}(x − (x + C(t))e^{α_{1,1}t})
+ \frac{1}{α_{1,1}} (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + β_{1}α_{1,0}) log \frac{α_{1,1}x+α_{1,0}}{α_{1,1}σ+α_{1,0}} ]
= −\frac{1}{α_{1,1}^{2}} [\frac{1}{2}α_{1,1}α_{0,2}(1 − e^{2α_{1,1}t})x^{2} + \{−α_{1,1}α_{0,2}C(t)e^{2α_{1,1}t} − β_{1}(1 − e^{α_{1,1}t})\}x
− \frac{1}{2}α_{1,1}α_{0,2}C(t)^{2}e^{2α_{1,1}t} + β_{1}C(t)e^{α_{1,1}} − (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + β_{1}α_{1,0})t]

Substitutie van

−α_{1,1}α_{0,2}C(t)e^{2α_{1,1}t} − β_{1}(1 − e^{α_{1,1}t})

= −α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (2α_{1,0}α_{0,2} − α_{1,1}α_{0,1})e^{α_{1,1}t} − β_{1}

en

−\frac{1}{2}α_{1,1}α_{0,2}C(t)^{2}e^{2α_{1,1}t} + β_{1}C(t)e^{α_{1,1}}

= \frac{1}{α_{1,1}} \{−\frac{1}{2}α_{1,0}^{2}α_{0,2}(e^{2α_{1,1}t} − 2e^{α_{1,1}t} + 1) + α_{1,0}β_{1}e^{α_{1,1}t} − α_{1,0}β_{1}\}
= \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} \{−\frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (2α_{1,0}α_{0,2} − α_{1,1}α_{0,1})e^{α_{1,1}t} − β_{1} − \frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}\}

in de uitdrukking voor ∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0}}dt geeft

exp ∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x(σ, t)^{2} + α_{0,1}x(σ, t) + α_{0,0}}dt

= exp[−\frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} (1 − e^{2α_{1,1}t})x^{2} + \frac{1}{α_{1,1}^{2}} \{α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + β_{1}\}x
+ \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}^{3}} \{\frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + β_{1} + \frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}\}
+ \frac{1}{α_{1,1}^{2}} (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + β_{1}α_{1,0})t]
= u_{0}(t)η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}

met

u_{0}(t) = exp\{\frac{α_{1,0}}{α_{1,1}^{3}} \{\frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + β_{1} + \frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,2}\}
+ \frac{1}{α_{1,1}^{2}} (α_{1,1}^{2}α_{0,0} + β_{1}α_{1,0})t\}
β(t) = \frac{i}{α_{1,1}^{2}} \{α_{1,0}α_{0,2}e^{2α_{1,1}t} + (α_{1,1}α_{0,1} − 2α_{1,0}α_{0,2})e^{α_{1,1}t} + β_{1}\}
μ(t) = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} (1 − e^{2α_{1,1}t}) .

Immers, omdat òf α_{1,1} > 0 en Re(α_{0,2}) ≥ 0 òf α_{1,1} < 0 en Re(α_{0,2}) ≤ 0, geldt dat Re(μ(t)) ≥ 0 voor t ≥ 0. Verder, als μ(t) = 0, dan t = 0, terwijl β(0) = 0.

Verder geldt, omdat α_{1,1} en α_{1,0} zuiver reëel,

ϕ(x(σ, 0)) = ϕ(σ)
= ϕ((x + C(t))e^{α_{1,1}t})
= S_{e^{α_{1,1}t}} T_{−C(t)} ϕ .

Voor u(x, t) kunnen we nu schrijven

u(x, t) = u_{0}(t)(S_{e^{α_{1,1}t}} T_{−C(t)} ϕ)(x)···η_{(μ(t))}^{(1,β(t))}(x)

□

We beschouwen vervolgens het Cauchy-probleem met α_{1,1} = 0.

Lemma 3.2 Als A = A(0, 0, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0}), met α_{1,0}, α_{0,2} ≠ 0 en α_{1,0} zuiver reëel terwijl Re(α_{0,2}) ≤ 0 dan heeft, voor alle ϕ ∈ GF, het Cauchy-probleem

\frac{d}{dt}u = Au
u(0) = ϕ ,

met t ∈ ℝ, de oplossing

u(x, t) = e^{\frac{1}{3} α_{1,0}^{2}α_{0,2}t^{3}+ \frac{1}{2} α_{1,0}α_{0,1}t^{2}+α_{0,0}t} (T_{−α_{1,0}t}ϕ)(x) ···η_{(μ(t))}^{(1,β(t))} ,

met

β(t) = i(α_{1,0}α_{0,2}t^{2} + α_{0,1}t)
μ(t) = −α_{0,2}t ,

in het gebied t ∈ ℝ (als Re(α_{0,2}) = 0) of in het gebied t ≥ 0 (als Re(α_{0,2}) < 0). (Merk op dat dit een veralgemenisering is van de in paragraaf 2.7 afgeleide uitdrukking e^{tD} = T_{−t}.) Bewijs We formuleren het Cauchy-probleem voor A = A(0, 0, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1}, α_{0,0}):

u_{t} − α_{1,0}u_{x} − (α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0})u = 0
u(x, 0) = ϕ(x) .

Ook dìt probleem kunnen we oplossen met de methode der karakteristieke coördinaten. Voor deze coördinaten σ, τ geldt:

∂_{τ} x = −α_{1,0}
x(σ, 0) = σ

en

∂_{τ} t = 1
t(σ, 0) = 0

ofwel

x(σ, τ) = −α_{1,0}τ + σ
t(σ, τ) = τ ,

We zien:

σ(x, t) = x + α_{1,0}t ,
τ(x, t) = t .

Het Cauchy-probleem voor u = u(σ, τ) wordt

u_{τ} = (α_{0,2}x^{2} + α_{0,1}x + α_{0,0})u
u(σ, 0) = ϕ(x(σ, 0)) ,

met x = x(σ, τ). Dit geeft

u(σ, τ) = ϕ(x(σ, 0)) exp ∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x(σ, t)^{2} + α_{0,1}x(σ, t) + α_{0,0}}dt ,

Nu geldt, omdat t = \frac{1}{α_{1,0}} (σ − x),

∫_{0}^{τ} {α_{0,2}x(σ, t)^{2} + α_{0,1}x(σ, t) + α_{0,0}}dt
= −\frac{1}{α_{1,0}} ∫_{σ}^{x}(α_{0,2}ξ^{2} + α_{0,1}ξ + α_{0,0})dξ
= −\frac{α_{0,2}}{3α_{1,0}} (x^{3} − σ^{3}) − \frac{α_{0,1}}{2α_{1,0}} (x^{2} − σ^{2}) − \frac{α_{0,0}}{α_{1,0}} (x − σ)
= α_{0,2}tx^{2} + (α_{1,0}α_{0,2}t^{2} + α_{0,1}t)x + \frac{1}{3}α_{1,0}^{2}α_{0,2}t^{3} + \frac{1}{2}α_{1,0}α_{0,1}t^{2} + α_{0,0}t

Verder geldt, omdat α_{1,0} zuiver reëel,

ϕ(x(σ, 0)) = ϕ(σ)
= ϕ(x + α_{1,0}t)
= T_{−α_{1,0}t}ϕ .

Voor u(x, t) kunnen we nu schrijven

u(x, t) = e^{\frac{1}{3} α_{1,0}^{2}α_{0,2}t^{3}+ \frac{1}{2} α_{1,0}α_{0,1}t^{2}+α_{0,0}t} (T_{−α_{1,0}t}ϕ)(x) ···η_{(μ(t))}^{(1,β(t))} ,

met

β(t) = i(α_{1,0}α_{0,2}t^{2} + α_{0,1}t)
μ(t) = −α_{0,2}t ,

immers, als Re(α_{0,2}) < 0; dan, voor alle t ≥ 0 Re(μ(t)) ≥ 0. Verder, als μ(t) = 0, dan t = 0 en dus β(t) = 0 ∈ ℝ. In het geval dat α_{0,2} ≠ 0, Re(α_{0,2}) = 0, dan voor alle t ∈ ℝ Re(μ(t)) ≥ 0. □

3.3 Aanbevelingen: Wegen naar eventuele scherpere resultaten

Inleiding

Het lijkt wenselijk een nieuwe basis voor GF te kiezen. Hier enige overwegingen van heuristische aard, die aanleiding geven tot deze wens. Verder spreken we vermoedens uit over de mogelijkheid op deze (of een andere) manier scherpere resultaten te boeken.

3.3.1 Een nieuw basiselement voor GF

Er geldt:

lim_{μ→∞} \begin{matrix}√ & \overline{μ} \\ √ & \overline{π} \end{matrix}η_{(μ)}^{(1,0)} = η^{(0,0)}

in GF-zin. Immers: Er geldt (zie [G&S, Beispiel 2, p. 45])

lim_{t↓0} \frac{1}{2\sqrt{πt}} exp(−\frac{x^{2}}{4t}) = δ(x)

i.e.

lim_{μ→∞} \begin{matrix}√ & \overline{μ} \\ √ & \overline{π} \end{matrix}η_{(μ)}^{(1,0)} = lim_{μ→∞} \begin{matrix}√ & \overline{μ} \\ √ & \overline{π} \end{matrix}e^{μx^{2}}
= δ(x)
= η^{(0,0)} .

Met de uitdrukking voor de Fourier-getransformeerde van η_{(μ)}^{(p+1,α)}, en met de continuïteit van F, vinden we meer algemene resultaten: voor (μ, α) → (0, a):

i^{p}2^{− \frac{1}{2} −p}e^{− \frac{α^{2}}{4μ}} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}μ^{− \frac{1}{2} − \frac{1}{2} p− \frac{1}{2} k}H_{p−k}(−\frac{α}{2\sqrt{μ}})η_{( \frac{1}{4μ})}^{(k+1, \frac{iα}{2μ})}

= Fη_{(μ)}^{(p+1,α)}
→ Fη_{(0)}^{(p+1,a)}
= \sqrt{2π}p!i^{p}η^{(−p,a)} .

Blijkbaar ligt η^{(−p,a)} op de ‘rand’ van GF_{+}. We kunnen dit in de parametrisering van de basis tot uitdrukking laten komen, en schrijven

ξ_{(ν)}^{(1,0)} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2π}} \sqrt{\frac{2}{1+ν}} η_{(μ)}^{(1,0)} & als ν ≠ −1, \\ η^{(0,0)} & als ν = −1. \end{matrix}

Hierbij is ν = \frac{1−2μ}{1+2μ}, |ν| ≤ −1. Voor ξ_{(ν)}^{(1,0)} geldt dus

ξ_{(ν)}^{(1,0)} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{π}} \sqrt{\frac{1}{1+ν}} e^{− \frac{1}{2} \frac{1−ν}{1+ν} x^{2}} & als ν ≠ −1, \\ δ(x) & als ν = −1. \end{matrix}

De nieuwe parameter ν is het beeld van μ onder de conforme afbeelding: ℂ\\{−\frac{1}{2}\} → ℂ: μ → \frac{1−2μ}{1+2μ}. Over deze afbeelding het volgende. Volgens [K, p. 9] geldt

\{\frac{1 − 2μ}{1 + 2μ} | Re(μ) ≥ 0\} = \{ν ∈ ℂ | |ν| ≤ 1 , ν ≠ −1\} .

Schrijf ν = ν(μ). Dan μ = \frac{1}{2} \frac{1−ν}{1+ν}, en

ν(0) = 1 ,
ν(\frac{1}{2}) = 0 ,
ν(∞) = −1 ,
ν(−\frac{1}{2}i) = i ,
ν(\frac{1}{2}i) = −i ,
ν(−\frac{1}{4}(1 ± \sqrt{17})) = −\frac{1}{4}(1 ± \sqrt{17}) .

Verder: ν(μ) beeldt de rechte Re(μ) = x af op de cirkel |ν − \frac{−2x}{2x+1}| = \frac{1}{|2x+1|}. Deze cirkels raken de lijn Im(ν) = −1 in ν = −1. De rechte Im(μ) = y wordt afgebeeld op de cirkel |ν − \frac{i−2y}{2y} | = \frac{1}{|2y|}. Deze cirkels raken de reële as in ν = −1. In het bijzonder: ν([0, ∞)) = (−1, 1] en ν(μ) beeldt de positieve imaginaire as af op de onderste helft van de rand van de eenheidscirkel.

3.3.2 Het omzeilen van singuliere punten

Wanneer we er in zouden slagen ook de overige basiselementen η_{(μ)}^{(j,α)} in een nieuwe, niet al te wilde, basis uit te drukken, dan verwachten we dat de oplossing van het Cauchy-probleem er mooier uit ziet. De problemen die optraden bij het bepalen van het existentie-interval voor golfachtige A, leken niet van essentiële aard: De oplossing kan, zoals we immers zagen bij de oplossing van de Schrödinger-vergelijking voor de harmonische oscillator, bestaan op I\underline{α}, terwijl de representatie van deze oplossing in de basis η_{(μ)}^{(j,α)} niet continu van de parameters afhangt. Deze parameters blijken dus niet de beste.

Een mogelijk alternatief voor het invoeren van een nieuwe basis, is het asymptotisch gedrag van de oplossing te onderzoeken voor t dicht bij de rand van het eindige existentie-interval. We verwachten dat de oplossing dan naar een lineaire combinatie van elementen van GF_{−} zal gaan.

3.3.3 Globale existentie onder zwakkere condities

We vermoeden, op grond van overwegingen van groepentheoretische aard, dat de voorwaarde ‘A golfachtig of diffusieachtig’ voldoende is voor globale existentie van de oplossing van het Cauchyprobleem in GF.

Merk echter op dat, volgens 2.3, onder zekere voorwaarden het Cauchy-probleem met beginvoorwaarde η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))}, een oplossing op I\underline{α} heeft van de vorm

u(t) = ∑_{j=0}^{p} υ_{j}(t)η_{(μ(t))}^{(j+1,β(t))} .

Nu geldt dat, voor |x| → ∞,

η_{(μ)}^{(j+1,β)}(x) = O(η_{(μ)}^{(j+2,β)}(x))

dus, als η_{(μ(0))}^{(p+1,β(0))} ∈ H_{k}, voor zekere k ∈ ℤ, met H_{k} als in paragraaf 1.4.2, dan voor alle t ∈ I\underline{α}

u(t) ∈ H_{k} .

Dit is echter niet nodig voor globale existentie in GF, we eisen slechts dat u(t) ∈ GF voor alle t. Dit doet het vermoeden rijzen dat we, om globale existentie in GF te bewijzen, zelfs met mìnder scherpe voorwaarden op de coëfficiënt \underline{α} toe kunnen.

3.4 Conclusies

In hoofdstuk 1 is existentie en éénduidigheid van de oplossing van het Cauchy-probleem in S′(ℝ) aangetoond voor twee klassen van evolutievergelijkingen: ‘golfachtige’ en ‘diffusieachtige’. De existentie-stelling van De Graaf is hierbij een zeer bruikbaar hulpmiddel gebleken. Dat deze stelling is geformuleerd voor Hilbert-ruimten is, in deze context, geen wezenlijke beperking: We kunnen S′(ℝ) immers als een inductieve limiet van Hilbert-ruimten schrijven.

In hoofdstuk 2 is de ruimte GF geïntroduceerd. Het is mogelijk gebleken, onder zekere voorwaarden op de differentiaal-operator A, een expliciete uitdrukking voor de oplossing van ons Cauchy-probleem in de ruimte GF te geven. Deze oplossing bestaat op het maximale existentieinterval I\underline{α}: Het existentie-interval dat we ook voor de oplossing in S′(ℝ) vonden.

Scherpere resultaten lijken echter, op grond van de overwegingen in de vorige paragraaf, haalbaar. Een mogelijke aanpak is daarbij het introduceren van een nieuwe basis voor de ruimte GF, die meer recht doet aan de topologische structuur van deze ruimte, zoals ik in de vorige paragraaf heb aangegeven. In de mij toegemeten tijd ben ik er niet in geslaagd zo’n basis te vinden. Ik hoop dat ooit nog iemand aan het oplossen van dit probleem zoveel plezier beleeft als het lijkt te bieden. Het ziet er immers zeer interessant uit.

Bijlage A

De Hermite-polynomen

A.1 Definitie van Hermite-polynomen en Hermite-functies

We introduceren, c.f. [A&S, 22.3.10], voor n ∈ ℕ en x ∈ ℂ de Hermite-polynomen H_{n}(x):

H_{n}(x) := ∑_{k=0}^{[ \frac{1}{2} n]} \frac{n!}{k!(n−2k)!}(−1)^{k}(2x)^{n−2k}

waar [\frac{1}{2}n] staat voor de entier van \frac{1}{2}n: [\frac{1}{2}n] = \frac{1}{2}n als n even is, en [\frac{1}{2}n] = \frac{1}{2}n − \frac{1}{2} als n oneven is.

De variabele x zal nu reëel zijn. We definiëren de Hermite-functies ψ_{n}: ψ_{n}(x) := (2^{n}n!\sqrt{π})^{− \frac{1}{2}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}}H_{n}(x) .

A.2 Enige eigenschappen van de Hermite-polynomen

We memoreren enige eigenschappen van de Hermite-polynomen. Als eerste geven we, c.f. [A&S, 22.11.7, p. 785] de volgende Rodrigues-uitdrukking

H_{n}(x) := (−1)^{n}e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}} , Verder geldt, volgens [A&S, 22.7.13 en 22.8.7],

H′_{n}(x) = 2nH_{n−1}(x) ,  (A.1)
2xH_{n}(x) = 2nH_{n−1}(x) + H_{n+1}(x) .  (A.2)

Volgens [A&S, 22.9.17, p. 784], heeft H_{n}(x) de volgende genererende functie:

e^{2xz−z^{2}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}H_{k}(x)z^{k} ,  (A.3)

met z ∈ ℂ.

A.3 Twee ontwikkelingen naar Hermite-polynomen

Lemma A.1 Er geldt, voor x ∈ ℂ,

H_{p}(x + a) = ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}(2a)^{p−k}H_{k}(x)

Bewijs Met gelijkheid A.3 volgt, voor x ∈ ℝ,

∑_{p=0}^{∞} \frac{1}{p!}H_{p}(x + a)z^{p} = e^{2(x+a)z−z^{2}}
= e^{2az}e^{2xz−z^{2}}
= ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(2a)^{n}z^{n} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}H_{k}(x)z^{k}
= ∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} \frac{1}{(p−k)!} \frac{1}{k!}(2a)^{p−k}H_{k}(x)z^{p}
= ∑_{p=0}^{∞} \frac{1}{p!} ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}(2a)^{p−k}H_{k}(x)z^{p} .

Dit geeft

H_{p}(x + a) = ∑_{k=0}^{p} \binom{p}{k}(2a)^{p−k}H_{k}(x) .

Dit is een gelijkheid van twee reële polynomen. Dus ook voor x ∈ ℂ geldt deze gelijkheid. □ Lemma A.2 Er geldt, voor a, x ∈ ℂ,

H_{p}(ax) = ∑_{n=0}^{[ \frac{1}{2} p]} \frac{p!}{n!(p−2n)!}(a^{2} − 1)^{n}a^{p−2n}H_{p−2n}(x)
= a^{p} ∑_{n=0}^{[ \frac{1}{2} p]} \frac{p!}{n!(p−2n)!}(1 − a^{−2})^{n}H_{p−2n}(x)

Bewijs Met gelijkheid A.3 volgt, voor a, x ∈ ℝ,

∑_{p=0}^{∞} \frac{1}{p!}H_{p}(ax)z^{p} = e^{2axz−z^{2}}
= e^{(a^{2}−1)z^{2}}e^{2xaz−(az)^{2}}
= ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(a^{2} − 1)^{n}z^{2n} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}a^{k}H_{k}(x)z^{k}
= ∑_{n=0}^{∞} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} \frac{1}{n!}(a^{2} − 1)^{n}a^{k}H_{k}(x)z^{2n+k}
= ∑_{p=0}^{∞} ∑_{n=0}^{[ \frac{1}{2} p]} \frac{1}{(p−2n)!} \frac{1}{n!}(a^{2} − 1)^{n}a^{p−2n}H_{p−2n}(x)z^{p} .

Dit geeft, op dezelfde gronden als bij lemma A.1, het gestelde. □

Bijlage B

De operator Q en zijn inverse

Inleiding

We introduceren in paragraaf B.1 een operator T en tonen in paragraaf B.2 aan dat T een Hilbert-Schmidt-operator is. Daarna laten we, in paragraaf B.3, zien dat T de inverse van de operator Q is, en tonen we in paragraaf B.4 aan dat Q positief is. We zullen ons op een zuinig standpunt stellen, en bewijzen dat Q^{−1} een Hilbert-Schmidt-operator is, zònder gebruik te maken van de Hermite-basis van L_{2}(ℝ).

We geven de gegeneraliseerde afgeleide van zekere meetbare en absoluut continue v aan met ∂v. We schrijven, voor x ∈ ℝ,

erfcx := \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{x}^{∞} e^{−t^{2}}dt .

Er geldt, voor alle x ∈ ℝ: erfcx + erfc(−x) = 2, erfcx is dalend, erfc(0) = 1 en erfcx < 2. We schrijven, c.f. definitie 1.2 voor alle f ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ) = D(Q)

Qf = (X^{2} − D^{2} + 1)f .

De operator Q is, volgens lemma 1.3, een operator in L_{2}(ℝ). Merk op dat Q te schrijven is als Q = (X + D)(X − D). Hiermee is de gewone differentiaalvergelijking

Qu = f

op te lossen. Op deze manier is de expliciete uitdrukking voor de operator T te vinden.

B.1 De operator T

Lemma B.1 Er geldt, voor x > 0,

\frac{e^{−x^{2}}}{\sqrt{π}(x + \frac{1}{2} \sqrt{2})} ≤ erfcx ≤ min\{\frac{e^{−x^{2}}}{\sqrt{π}x}, 1\} .

Bewijs Er geldt, volgens [A&S, (7.1.13), p. 298], voor x ≥ 0:

\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 2}} < e^{x^{2}} ∫_{x}^{∞} e^{−t^{2}}dt ≤ \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + \frac{4}{π}}} .

Met erfcx is dalend en erfc(0) = 1 geeft dit de gestelde ongelijkheden. □

Definitie B.1 We definiëren de functie G : ℝ^{2} → ℝ :

G(x, y) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(−x) erfcy & als x < y \\ \frac{1}{4} \sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfcx erfc(−y) & als x ≥ y . \end{matrix}

□

Merk op dat

G(x, y) = G(y, x) (x, y) ∈ ℝ^{2} .

Met lemma B.1 vinden we de volgende ongelijkheden voor G(x, y): Lemma B.2 Er geldt, voor (x, y) ∈ ℝ^{2},

0 < G(x, y) ≤ \{ \begin{matrix}\frac{C_{0}}{1+y} e^{− \frac{1}{2} (−x^{2}+y^{2})} & (0 ≤ x ≤ y) \\ \frac{C_{0}^{2}}{\sqrt{π}(1−x)(1+y)}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} & (x ≤ 0 ≤ y) \\ \frac{C_{0}}{1−x}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}−y^{2})} & (x ≤ y ≤ 0) . \end{matrix}

met C_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{π}(x_{0} + 1)e^{x_{0}^{2}} waar x_{0} > 0 en \sqrt{π}x_{0}e^{x_{0}^{2}} = 1. Bewijs Bedenk dat x_{0} bestaat: 0, 45 < x_{0} < 0, 46. Voor alle x > 0 geldt

min\{e^{x^{2}}, \frac{1}{\sqrt{π}x}\} ≤ \frac{(x_{0} + 1)e^{x_{0}^{2}}}{x + 1}

Met lemma B.1 vinden we, voor 0 < x < y:

G(x, y) ≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (−x^{2}+y^{2})}min\{e^{y^{2}}, \frac{1}{\sqrt{π}y} \}
≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (−x^{2}+y^{2})} \frac{1 + x_{0}}{1 + y} e^{x_{0}^{2}} .

Voor x < 0 < y geldt

G(x, y) ≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})}min\{e^{x^{2}}, \frac{1}{−\sqrt{π}x}\}min\{e^{y^{2}}, \frac{1}{\sqrt{π}y} \}
≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} \frac{1 + x_{0}}{1 − x} e^{x_{0}^{2}} \frac{1 + x_{0}}{1 + y} e^{x_{0}^{2}} ,

terwijl voor x < y < 0 geldt

G(x, y) ≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}−y^{2})}min\{e^{x^{2}}, \frac{1}{−\sqrt{π}x}\}
≤ \frac{1}{2}\sqrt{π}e^{− \frac{1}{2} (x^{2}−y^{2})} \frac{1 + x_{0}}{1 − x} e^{x_{0}^{2}} .

Eenvoudig is in te zien dat bovenstaande ongelijkheden ook gelden voor 0 ≤ x ≤ y, x ≤ 0 ≤ y, respectievelijk x ≤ y ≤ 0. □ Met gebruikmaking van de symmetrie-eigenschap van G(x, y) heeft bovenstaande ongelijkheid betekenis voor iedere (x, y) ∈ ℝ^{2}. Omdat \frac{C_{0}^{2}}{\sqrt{π}} < C_{0} volgt uit lemma B.2

0 < G(x, y) < \frac{C_{0}}{|x|+1} (x, y) ∈ ℝ^{2} .  (B.1)

Definitie B.2 We definiëren voor alle f ∈ L_{2}(ℝ)

(T f)(x) = ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)f(y)dy .

□

B.2 De operator T is begrensd

Stelling B.1 T , met D(T ) = L_{2}(ℝ), is een Hilbert-Schmidt-operator op L_{2}(ℝ). Bewijs Volgens [W, Theorem 6.11, p. 139], betekent het gestelde: G(x, y) ∈ L_{2}(ℝ^{2}), i.e.

I_{n} := ∫_{−n}^{n}∫_{−n}^{n} |G(x, y)|^{2} dxdy

convergeert voor n → ∞.

Schrijf

H(t) := \{ \begin{matrix}0 & (t ≥ 0) \\ 1 & (t < 0) . \end{matrix}

Voor alle n ∈ ℕ geldt

I_{n} = \frac{π}{16} ∫_{−n}^{n}∫_{−n}^{n} e^{(x^{2}+y^{2})} [erfc(−x) erfcy H(y − x) + erfcx erfc(−y) H(x − y)]^{2}dxdy
= \frac{π}{16} ∫_{−n}^{n}∫_{−n}^{n} e^{(x^{2}+y^{2})} [erfc^{2}(−x) erfc^{2}y H(y − x) + erfc^{2}x erfc^{2}(−y) H(x − y)]dxdy
= \frac{π}{16} ∫_{−n}^{n} e^{y^{2}} [erfc^{2}y ∫_{−n}^{y} e^{x^{2}} erfc^{2}(−x)dx + erfc^{2}(−y) ∫_{y}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx]dy .

Schrijf nu

F_{n}(y) := ∫_{y}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx

en merk op dat

∫_{−n}^{y} e^{x^{2}} erfc^{2}(−x) dx = − ∫_{n}^{−y} e^{t^{2}} erfc^{2}t dt
= ∫_{−y}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx
= F_{n}(−y) ,

dus

I_{n} = \frac{π}{16} ∫_{−n}^{n} e^{y^{2}} (erfc^{2}yF_{n}(−y) + erfc^{2}(−y)F_{n}(y))dy
= \frac{π}{16} ∫_{−n}^{n} e^{y^{2}} (erfc^{2}(−y)F_{n}(y)dy
= \frac{π}{16}(∫_{−n}^{−1} + ∫_{−1}^{1} + ∫_{1}^{n})e^{y^{2}} (erfc^{2}(−y)F_{n}(y)dy .

We schatten I_{n}. Lemma B.1 geeft

I_{n} ≤ \frac{π}{8} ∫_{−n}^{−1} e^{y^{2}} \frac{1}{πy^{2}} e^{−2y^{2}}F_{n}(y)dy + \frac{π}{8} ∫_{−1}^{1} e erfc^{2}(−1) F_{n}(y)dy + \frac{π}{2} ∫_{1}^{n} e^{y^{2}} F_{n}(y)dy

≤ \frac{1}{8} ∫_{−n}^{−1} \frac{1}{y^{2}} e^{−y^{2}}F_{n}(y)dy + \frac{π}{8} erfc^{2}(−1) ∫_{−1}^{1} F_{n}(y)dy + \frac{π}{2} ∫_{1}^{n} e^{y^{2}} F_{n}(y)dy .  (B.2)

We schatten F_{n}(y). Voor (n, y) ∈ ℕ × ℝ, 1 ≤ y ≤ n geldt, met lemma B.1,

F_{n}(y) = ∫_{y}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx
≤ \frac{1}{π} ∫_{y}^{∞} \frac{1}{x^{2}} e^{−x^{2}} dx
= [−\frac{1}{πx}e^{−x^{2}}]_{y}^{∞} − \frac{2}{π} ∫_{y}^{∞} e^{−x^{2}} dx
= \frac{1}{πy} e^{−y^{2}} − \frac{1}{\sqrt{π}} erfcy

= O(1)e^{−y^{2}} (\frac{1}{y} − \frac{1}{y + \frac{1}{2} \sqrt{2}})

= O(1)e^{−y^{2}} (\frac{\sqrt[\frac{1}{2}]{2}}{y(y + \frac{1}{2} \sqrt{2})})
= O(1)\frac{1}{y^{2}} e^{−y^{2}} .  (B.3)

Voor (n, y) ∈ ℕ × ℝ, −1 ≤ y ≤ 1 geldt, met lemma B.1 en (B.3),

F_{n}(y) = ∫_{y}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx

≤ ∫_{−1}^{1} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx + ∫_{1}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx
≤ 2e erfc^{2}(−1) + \frac{1}{e}O(1)
= O(1) .  (B.4)

Voor (n, y) ∈ ℕ × ℝ, −n ≤ y ≤ −1 geldt,

F_{n}(y) = ∫_{y}^{−1} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx + ∫_{−1}^{1} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx + ∫_{1}^{n} e^{x^{2}} erfc^{2}x dx

≤ O(1) ∫_{y}^{−1} e^{x^{2}} dx + O(1)

≤ O(1) ∫_{y}^{−1} −2xe^{x^{2}} dx + O(1)
= O(1) [e^{x^{2}}]_{y}^{−1} + O(1)
= O(1)(e^{y^{2}} + 1) .  (B.5)

Substitie van (B.3), (B.4) en (B.5) in (B.2) geeft nu, voor n ∈ ℕ

I_{n} = O(1) ∫_{−n}^{−1} \frac{1}{y^{2}} e^{−y^{2}}(e^{y^{2}} + 1)dy + ∫_{−1}^{1} O(1)dy + O(1) ∫_{1}^{n} \frac{1}{y^{2}} dy
= O(1) ∫_{−∞}^{−1} \frac{1}{y^{2}} e^{−y^{2}}(e^{y^{2}} + 1)dy + ∫_{−1}^{1} O(1)dy + O(1) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} dy
= O(1) .

Dus voor alle n ∈ ℕ

I_{n} ≤ C

voor zekere C > 0. Verder: I_{n} is monotoon niet-dalend, dus lim_{n→∞} I_{n} bestaat. We concluderen: T is een Hilbert-Schmidt-operator. □

Volgens [W, paragraaf 4.1, voorbeeld 2, p. 55] geldt nu Stelling B.2 De operator T is begrensd. □

B.3 De operator T is de inverse van Q

Lemma B.3 Er geldt, voor x ≶ y

G_{y}(x, y) = \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) [yerfc(±y) ∓ \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−y^{2}}]

en, voor alle x ∈ ℝ, lim_{|y|→∞} |G_{y}(x, y)| = 0. Bewijs Voor (x, y) ∈ ℝ^{2}, x ≶ y geldt

G_{y}(x, y) = \frac{∂}{∂y} \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) erfc(±y)
= \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) [yerfc(±y) ∓ \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−y^{2}}] .

Dus, voor (x, y) ∈ ℝ^{2}, |y| > |x|, x ≶ y, met lemma B.1

|G_{y}(x, y)| = O(1)e^{\frac{1}{2} y^{2}} [|yerfc(±y)| + |\frac{2}{\sqrt{π}} e^{−y^{2}}|]
= O(1)e^{\frac{1}{2} y^{2}} [O(1)\frac{y}{|y|}e^{−y^{2}} + O(1)e^{−y^{2}}]
= O(1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} .

Dit geeft de gevraagde limiet. □ Stelling B.3 Voor alle u ∈ D(Q) geldt

T Qu = u . Bewijs Zij u ∈ D(Q). Er geldt, omdat ˘|_{x∈ℝ}x^{2}u(x) ∈ L_{2}(ℝ) en ∂^{2}u ∈ L_{2}(ℝ),

(T Qu)(x) = ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)(Qu)(y)dy
= ∫_{−∞}^{∞}[G(x, y)(1 + y^{2})u(y) − G(x, y)∂^{2}u(y)]dy
= ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)(1 + y^{2})u(y)dy − ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)∂^{2}u(y)dy  (B.6)

bijna overal. We beschouwen de tweede term. Bedenk dat G, u en ∂u continu zijn. Verder geldt, volgens lemma B.3, lim_{|y|→∞} G_{y}(x, y) = 0; volgens (B.1) lim_{|y|→∞} G(x, y) = 0, en omdat u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) lim_{|x|→∞} u(x) = 0 en lim_{|x|→∞} ∂u(x) = 0. Met dit alles vinden we

∫_{−∞}^{∞} G(x, y)∂^{2}u(y)dy =

= ∫_{−∞}^{x−} G(x, y)∂^{2}u(y)dy + ∫_{x+}^{∞} G(x, y)∂^{2}u(y)dy
= [G(x, y)∂u(y)]_{y=−∞}^{x−} − ∫_{−∞}^{x−} G_{y}(x, y)∂u(y)dy + [G(x, y)∂u(y)]_{y=x+}^{∞}
− ∫_{x+}^{∞} G_{y}(x, y)∂u(y)dy
= − ∫_{−∞}^{x−} G_{y}(x, y)∂u(y)dy − ∫_{x+}^{∞} G_{y}(x, y)∂u(y)dy
= [−G_{y}(x, y)u(y)]_{y=−∞}^{x−} + ∫_{−∞}^{x−} G_{yy}(x, y)u(y)dy + [−G_{y}(x, y)u(y)]_{y=x+}^{∞}
+ ∫_{x+}^{∞} G_{yy}(x, y)u(y)dy
= −(G_{y}(x, x−) − G_{y}(x, x+))u(x) + (∫_{−∞}^{x−} + ∫_{x+}^{∞})G_{yy}(x, y)u(y)dy  (B.7)

bijna overal. We berekenen, voor x ≠ y , G_{yy}(x, y). Er geldt, met lemma B.3, voor x ≶ y

G_{yy}(x, y) =

= \frac{∂}{∂y} \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) [yerfc(±y) ∓ \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−y^{2}}]
= \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) [y(yerfc(±y) ∓ \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−y^{2}}) + erfc(±y) ∓ \frac{2}{\sqrt{π}} ye^{−y^{2}}

± \frac{4}{\sqrt{π}} ye^{−y^{2}}]

= \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{\frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})} erfc(∓x) [y^{2}erfc(±y) + erfc(±y)] .

Dus, voor x ≠ y :

G_{yy}(x, y) = (1 + y^{2})G(x, y) .  (B.8)

Verder geldt

G_{y}(x, x−) − G_{y}(x, x+) =

= \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{x^{2}} erfcx [yerfc(−x) + \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}}] − \frac{1}{4}\sqrt{π}e^{x^{2}} erfc(−x) [yerfcx − \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}}]
= \frac{1}{2}(erfcx + erfc(−x))
= 1 .  (B.9)

Substitutie van (B.8) en (B.9) in (B.7) geeft nu

∫_{−∞}^{∞} G(x, y)∂^{2}u(y)dy = −u(x) + (∫_{−∞}^{x−} + ∫_{x+}^{∞})G(x, y)(1 + y^{2})u(y)dy
= −u(x) + ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)(1 + y^{2})u(y)dy .

Substitutie in (B.6) geeft tenslotte

T Qu = u .

□

Lemma B.4 Voor alle f ∈ L_{2}(ℝ) geldt

˘|_{x∈ℝ}x^{2}(T f)(x) ∈ L_{2}(ℝ) .

Bewijs Zij f ∈ L_{2}(ℝ). Te bewijzen is

I_{n} := ∫_{−n}^{n} |x^{2}(T f)(x)|^{2}dx

convergeert voor n → ∞. Er geldt, voor n ∈ ℕ

I_{n} = ∫_{−n}^{−1} |x^{2}(T f)(x)|^{2}dx + ∫_{−1}^{1} |x^{2}(T f)(x)|^{2}dx + ∫_{1}^{n} |x^{2}(T f)(x)|^{2}dx
= (∫_{−n}^{−1} + ∫_{1}^{n})|x^{2}(T f)(x)|^{2}dx + O(1)
= O(1)(∫_{−n}^{−1} + ∫_{1}^{n})x^{4}| ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)|f(y)|dy|^{2}dx  (B.10)

We schatten | ∫_{−∞}^{∞} G(x, y) |f(y)| dy|^{2}. Er geldt, met Cauchy-Schwartz,

| ∫_{−∞}^{∞} G(x, y) |f(y)| dy|^{2} =
= | ∫_{−∞}^{∞}(1 + |y|)\sqrt{G(x, y)}\frac{1}{1 + |y|}\sqrt{G(x, y)} |f(y)| dy|^{2}
≤ | ∫_{−∞}^{∞}(1 + |y|)^{2}G(x, y)dy| · | ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(1 + |y|)^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy|  (B.11)

Nu geldt, voor x ∈ ℝ,

| ∫_{−∞}^{∞}(1 + |y|)^{2}G(x, y)dy| ≤ (| ∫_{−∞}^{−1} | + | ∫_{−1}^{1} | + | ∫_{1}^{∞} |)(1 + |y|)^{2}G(x, y)dy
= O(1)(| ∫_{−∞}^{−1} | + | ∫_{1}^{∞} |)(1 + |y|)^{2}G(x, y)dy
= O(1)(∫_{−∞}^{−1} y^{2}G(x, y)dy + ∫_{1}^{∞} y^{2}G(x, y)dy) .  (B.12)

Met lemma B.2 vinden we nu, voor x > 1

∫_{1}^{∞} y^{2}G(x, y)dy = (∫_{1}^{x} + ∫_{x}^{∞})y^{2}G(x, y)dy
= \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{x} y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{x}^{∞} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}}dy
= \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{x}(1 + y^{2})e^{\frac{1}{2} y^{2}}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} [e^{− \frac{1}{2} y^{2}}]_{x}^{∞}
= \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} [ye^{\frac{1}{2} y^{2}}]_{1}^{x} + O(1)
= O(1) .  (B.13)

Dit betekent

∫_{1}^{∞} y^{2}G(x, y)dy

is begrensd voor x > 1. Verder, voor x < −1

∫_{1}^{∞} y^{2}G(x, y)dy = \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{∞} y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}dy
= \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}
= O(1) .  (B.14)

Dus ook

∫_{1}^{∞} y^{2}G(x, y)dy

is begrensd voor x < −1. Met de symmetrie van G(x, y) volgt

∫_{−∞}^{−1} y^{2}G(x, y)dy

is begrensd voor x ∈ ℝ\[−1, 1]. Met (B.12) vinden we, voor x ∈ ℝ\[−1, 1],

| ∫_{−∞}^{∞}(1 + |y|)^{2}G(x, y)dy| = O(1) .  (B.15)

We schatten nu | ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(1+|y|)^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy|. Analoog aan (B.12) kunnen we weer schrijven

∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(1 + |y|)^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy| =

O(1)(∫_{−∞}^{−1} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy + ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy) .  (B.16)

Voor x > 1 geldt nu, analoog aan (B.13)

∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy =

= \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy .

Voor x < −1, analoog aan (B.14)

∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy = \frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy
= O(1) .  (B.17)

Verder, voor x > 1, met (B.17)

∫_{−∞}^{−1} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy = ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} G(x, −y)|f(y)|^{2}dy
= ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{2}} G(−x, y)|f(y)|^{2}dy
= O(1)

en voor x < −1

∫_{−∞}^{−1} \frac{1}{y^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy =

= −\frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{−x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{−x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy

Dit alles geeft, met (B.16), voor \{ \begin{matrix}x > 1 \\ x < −1 \end{matrix}

∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(1 + |y|)^{2}} G(x, y)|f(y)|^{2}dy| =

= ±\frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{±x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{±x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy  (B.18)

En dus, met (B.11), (B.15) en (B.18), voor \{ \begin{matrix}x > 1 \\ x < −1 \end{matrix}

| ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)|f(y)|dy|^{2} =
= ±\frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{±x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy + O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{±x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy .

Uiteindelijk vinden we, met (B.10), voor n ∈ ℕ

I_{n} = ∫_{−n}^{−1} x^{4}[−\frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{−x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy

+ O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{−x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy]dx

+ ∫_{1}^{n} x^{4}[\frac{O(1)}{x}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy

+ O(1)e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dy]dx

= O(1) ∫_{1}^{n} x^{3}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} ∫_{1}^{x} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dydx

+ O(1) ∫_{1}^{n} x^{4}e^{\frac{1}{2} x^{2}} ∫_{x}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}dydx

= O(1) ∫_{1}^{n} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2} ∫_{y}^{n} x^{3}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}dxdy

+ O(1) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2} ∫_{1}^{min(y,n)} x^{4}e^{\frac{1}{2} x^{2}}dxdy

= O(1) ∫_{1}^{n} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2} ∫_{y}^{∞} x^{3}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}dxdy
+ O(1) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2} ∫_{1}^{y} x^{4}e^{\frac{1}{2} x^{2}}dxdy  (B.19)

Nu geldt, voor y > 1

∫_{y}^{∞} x^{3}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}dx = O(1) ∫_{y}^{∞}(x^{3} − 2x)e^{− \frac{1}{2} x^{2}}dx
= O(1) [x^{2}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}]_{y}^{∞}
= O(1)y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}

terwijl

∫_{1}^{y} x^{4}e^{\frac{1}{2} x^{2}}dx = O(1) ∫_{1}^{y}(3x^{2} + x^{4})e^{\frac{1}{2} x^{2}}dx
= O(1) [x^{3}e^{\frac{1}{2} x^{2}}]_{1}^{y}
= O(1)y^{3}e^{\frac{1}{2} y^{2}} + O(1)
= O(1)y^{3}e^{\frac{1}{2} y^{2}}

Dit geeft met (B.19), omdat f ∈ L_{2}(ℝ), voor n ∈ ℕ :

I_{n} = O(1) ∫_{1}^{n} \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}dy + O(1) ∫_{1}^{∞} \frac{1}{y^{3}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}}|f(y)|^{2}y^{3}e^{\frac{1}{2} y^{2}}dy
= O(1) ∫_{1}^{∞} |f(y)|^{2}dy
= O(1)

Verder: I_{n} is monotoon niet-dalend, dus lim_{n→∞} I_{n} bestaat. □ Lemma B.5 Er geldt

R(T ) = W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ) en, voor alle f ∈ L_{2}(ℝ)

QT f = f . Bewijs Zij u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ) = D(Q). Schrijf f = Qu. Dan, volgens stelling B.3, T f = T Qu = u. Dus u ∈ R(T ). Blijkbaar R(T ) ⊃ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ).

Zij nu u ∈ R(T ). Dan, voor zekere f ∈ L_{2}(ℝ), zeg f, T f = u. Volgens lemma B.4 geldt dan ˘|_{x∈ℝ}x^{2}(T f)(x) ∈ L_{2}(ℝ), dus u ∈ FW_{2}^{2}(ℝ). We zullen nu bewijzen: ook ∂^{2}u ∈ L_{2}(ℝ). Er geldt:

u(x) = ∫_{−∞}^{∞} G(x, y)f(y)dy
= \frac{\sqrt{π}}{4} e^{\frac{1}{2} x^{2}}[erfc(−x) ∫_{x}^{∞} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfcyf(y)dy + erfcx ∫_{−∞}^{x} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfc(−y)f(y)dy] .

Blijkbaar is u absoluut continu. Schrijf nu

v(x) = erfc(−x) ∫_{x}^{∞} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfcyf(y)dy + erfcx ∫_{−∞}^{x} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfc(−y)f(y)dy . Ook v is absoluut continu. We kunnen schrijven

∂u(x) = xu(x) + \frac{\sqrt{π}}{4} e^{\frac{1}{2} x^{2}}∂v(x) .  (B.20)

Er geldt

∂v(x) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}} ∫_{x}^{∞} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfcyf(y)dy − erfc(−x)e^{\frac{1}{2} x^{2}}erfcxf(x)

− \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}} ∫_{−∞}^{x} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfc(−y)f(y)dy + erfcxe^{\frac{1}{2} x^{2}}erfc(−x)f(x)

= \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}}[∫_{x}^{∞} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfcyf(y)dy − ∫_{−∞}^{x} e^{\frac{1}{2} y^{2}}erfc(−y)f(y)dy] .

Dus ∂v is absoluut continu, en, met (B.20), ook ∂u is absoluut continu. Met (B.20) volgt

∂^{2}u(x) = u(x) + x^{2}u(x) + \frac{\sqrt{π}}{2} xe^{\frac{1}{2} x^{2}}∂v(x) + \frac{\sqrt{π}}{4} e^{\frac{1}{2} x^{2}}∂^{2}v(x)
= (1 + x^{2})u(x) + \frac{\sqrt{π}}{4} e^{\frac{1}{2} x^{2}}(2x∂v(x) + ∂^{2}v(x)) .

We berekenen ∂^{2}v.

∂^{2}v(x) = −2x∂v(x) + \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−x^{2}}[−e^{\frac{1}{2} x^{2}}erfcxf(x) − e^{\frac{1}{2} x^{2}}erfc(−x)f(x)]
= −2x∂v(x) − \frac{4}{\sqrt{π}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}}f(x) .

Substitutie geeft voor ∂^{2}u

∂^{2}u(x) = (1 + x^{2})u(x) − f(x) .

Nu geldt u ∈ L_{2}(ℝ), ˘|_{x∈ℝ}x^{2}u(x) ∈ L_{2}(ℝ), f ∈ L_{2}(ℝ), dus ∂^{2}u ∈ L_{2}(ℝ). Dat wil zeggen u ∈ W_{2}^{2}(ℝ). We concluderen u ∈ W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ) en QT f = Qu = f □

Stelling B.4 De operator Q is inverteerbaar en

Q^{−1} = T .

Bewijs Zij u ∈ D(Q) met Qu = 0. Volgens lemma B.5 geldt dan u ∈ R(T ). Dus voor zekere f ∈ L_{2}(ℝ), zeg f : T f = u. Met lemma B.5 volgt f = QT f = Qu = 0, en dus u = T f = T 0 = 0.

We construeren Q^{−1}. Met lemma B.5 geldt:

D(Q^{−1}) = R(Q)
= {Qu|u ∈ R(T )}
= {QT f|f ∈ L_{2}(ℝ)}
= {f|f ∈ L_{2}(ℝ)}
= L_{2}(ℝ)
= D(T ) .

Zij nu f ∈ D(Q^{−1}), en u zodanig dat Qu = f. We zoeken een operator Q^{−1} met Q^{−1}f = u. Er geldt

f = QT f
Qu = QT f
Q(u − T f) = 0
u = T f

We hebben gevonden

∀f ∈ D(Q^{−1}) = D(T ) : Q^{−1}f = T f

i.e. Q^{−1} = T . □

B.4 De operator Q is positief

Stelling B.5 De operator Q is zelfgeadjungeerd en

Q > 0 .

Bewijs Er geldt, volgens [W, Theorem 6.11, p. 139], voor alle f ∈ L_{2}(ℝ) :

(T^{∗}f)(x) = ∫_{−∞}^{∞} \overline{G(y, x)}f(y)dy
= ∫_{−∞}^{∞} G(y, x)f(y)dy
= (T f)(x)

bijna overal. Dus T = T^{∗}. Verder, omdat R(T ) = W_{2}^{2}(ℝ) ∩ FW_{2}^{2}(ℝ), R(T ) dicht in L_{2}(ℝ). Volgens [W, Theorem 4.17, p. 71] geldt dan T^{−1 ∗} = T^{∗ −1}. We vinden

Q^{∗} = T^{−1 ∗} = T^{∗ −1} = T^{−1} = Q

i.e. Q is zelfgeadjungeerd.

Zij nu u ∈ D(Q). We zullen bewijzen: (Qu, u) ≥ 0 en, als (Qu, u) = 0, dan u = 0. Beschouw (Qu, u).

Er geldt:

(Qu, u) = ∫_{−∞}^{∞}[(x^{2} + 1)u(x) − ∂^{2}u(x)]\overline{u(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞}(x^{2} + 1)|u(x)|^{2}dx − ∫_{−∞}^{∞} ∂^{2}u(x)\overline{u(x)}dx
= ∫_{−∞}^{∞}(x^{2} + 1)|u(x)|^{2}dx − [∂u(x)\overline{u(x)}]_{−∞}^{∞} + ∫_{−∞}^{∞} |∂u(x)|^{2}dx
= ∫_{−∞}^{∞}(x^{2} + 1)|u(x)|^{2}dx + ∫_{−∞}^{∞} |∂u(x)|^{2}dx ,

immers, u ∈ W_{2}^{2}(ℝ), dus u(x) → 0 en ∂u(x) → 0 als |x| → ∞. We vinden (Qu, u) ≥ 0 en, als (Qu, u) = 0, dan ∫_{−∞}^{∞} |u(x)|^{2}dx = 0. I.e. Q > 0. □

Bijlage C

De existentie-stelling

Zij H een Hilbertruimte met norm ∥ · ∥_{H} = \sqrt{(·, ·)}

C.1 Infinitesimaal-generatoren en hulp-operatoren

Definitie C.1 We noemen een operator Q in een H strict positief als Q zelf geadjungeerd is, en, voor alle u ∈ D(Q), u ≠ 0, geldt (u, Qu) > 0. We schrijven dan Q > 0. □

We definiëren, c.f. [G2, (2.1), § 2, p. III.3] en [G1, Remark, § 4, p. 134]:

Definitie C.2 We noemen een operator A in H een pre-infinitesimaal-generator met hulp-operator Q als Q een dicht gedefinieerde, strict positieve, inverteerbare operator in H is, met D(Q^{−1}) = H, en als verder is voldaan aan:

1. D(A) ⊃ D(Q) en D(A^{∗}) is dicht in H, dus A is afsluitbaar

2. ∃_{β≥0}∀_{u∈D(A)} Re(u, Au) ≤ β(u, u)

3. ∃_{β≥0}∀_{u∈D(Q)} Re(Qu, Au) ≤ β(Qu, u) .

De afsluiting van A, Ā, heet een infinitesimaal-generator. □

Volgens [G2, stelling 1, p.III.3] geldt nu: als A een pre-infinitesimaal-generator met hulp-operator Q is, dan AQ^{−1} ∈ B(L_{2}(ℝ)), dus bovenstaande definitie van infinitesimaal-generatoren komt overeen met die in [G1, Definition, § 2, p. 126].

C.2 Existentie en éénduidigheid

Zij nu de operator A in H een infinitesimaal-generator met hulp-operator Q. We schrijven H_{T} voor de vectorruimte van alle meetbare afbeeldingen u(t) : [0, T] → H waarvoor ∥u(t)∥ kwadratisch integreerbaar is.

We definiëren, c.f. [G1, pp. 127, 128], de operator Ω op D(Ω):

Definitie C.3 We definiëren de verzameling D(Ω) als de verzameling absoluut continue functies u(t) ∈ H_{T} die voldoen aan:

- voor alle t ∈ [0, T] : u(t) ∈ D(Q),
- voor bijna alle t ∈ [0, T] : ∂u(t) ∈ D(Q),
- Qu(t) ∈ H_{T} en
- Q∂u(t) ∈ H_{T},

waarbij ∂u(t) staat voor de gegeneraliseerde afgeleide van u naar t. □ Definitie C.4 We definiëren de operatoren S en Ω op D(Ω) door

Su = ∂u − Au
Ωu = [Su; ϕ] .

Er geldt: R(Ω) ⊂ H_{T} × H. □ De existentie-stelling [G1, p. 130, Theorem 5] zegt nu: Stelling C.1 Voor alle T ∈ [0, ∞] geldt: De operator Ω is afsluitbaar. We geven de afsluiting van Ω aan met \overline{Ω}. Zij nu ϕ ∈ H. Dan heeft de vergelijking \overline{Ω}u = [0, ϕ] precies één oplossing u(t) : [0, ∞) → H. Deze oplossing zal, in ∥ · ∥_{H}-zin, continu van t afhangen.

De operator S heeft een gesloten uitbreiding \overline{S}; D(\overline{S}) ⊃ D(\overline{Ω}) en R(\overline{S}) = H_{T}. Er geldt \overline{S}u = 0 en lim_{t→0} u(t) = ϕ in H-zin.

We schrijven u(t) = e^{tA}ϕ. □ Stelling [G1, Theorem 6, § 3, p. 132] zegt: Stelling C.2 Als u(t) een klassieke oplossing is van

\frac{d}{dt}u = Au :
u(0) = ϕ

dan is u(t) = e^{tA}ϕ. □ De stelling [G1, Theorem 11, § 5, p. 136] zegt nu Stelling C.3 Er geldt voor iedere t ≥ 0:

1. De propagator e^{tA} is een begrensde operator op H;

2. Voor iedere ϕ ∈ H is e^{tA}ϕ een in ∥ · ∥_{H}-zin continue functie van t;

3. Als ϕ ∈ D(A^{n}), dan e^{tA}ϕ ∈ D(A^{n}) en A^{n}e^{tA}ϕ = e^{tA}A^{n}ϕ.

□

Met de stelling [G1, Theorem 10 (Persistence of initial- and source conditions), p. 134] volgt: Stelling C.4 Zij ϕ ∈ D(A). Dan geldt voor de gegeneraliseerde oplossing u(t) van de evolutievergelijking: u(t) ∈ D(A) voor alle t ∈ [0, T], en u(t) is continu differentieerbaar. □ Eenvoudig volgt: Lemma C.1 Als A èn −A infinitesimaal-generatoren zijn, dan gelden alle bovenstaande stellingen óók voor t ∈ (−∞, 0]; dus voor t ∈ ℝ. □

Bijlage D

De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies en haar duale

Meer theorie over de Schwartz-ruimte en haar duale is te vinden in [G&S, p. 26], [W, § 10.1, p. 289] en [R&S 1, V.3, p. 133 e.v.]. Hier de voor dit verslag belangrijkste resultaten.

D.1 De Schwartz-ruimte der snel afnemende functies S(ℝ)

Definitie D.1 We definiëren, c.f. [R&S 1, p. 133] de Schwartz-ruimte van snel afnemende functies S(ℝ) als de ruimte van functies f ∈ C^{∞}(ℝ) waarvoor geldt

∥f∥_{n,k} := sup_{x∈ℝ} |x|^{n}|\frac{d^{k}}{dx^{k}} f(x)| < ∞ .

voor alle n, k ∈ ℕ. □

We voeren op S(ℝ) het volgende convergentie-begrip in: Voor alle rijtjes (f_{j})_{j∈ℕ} ∈ S(ℝ), betekent f_{j} → 0 (j → ∞) dat voor alle n, k ∈ ℕ geldt ∥f∥_{n,k} → 0. We noemen een operator A in S(ℝ) dus continu in S(ℝ) als A continu is ten aanzien van iedere norm ∥ · ∥_{n,k} uit de aftelbare set normen op S(ℝ). Het theorema [R&S 1, Theorem V.9, p. 133] zegt nu

Stelling D.1 De ruimte S(ℝ) met de topologie gegenereerd door de aftelbare verzameling seminormen ∥·∥_{n,k} is een volledige, metriseerbare, lokaal convexe vectorruimte, i.e. een Fréchet-ruimte. □

Definitie D.2 We definiëren de vectorruimte s door

s := \{\underline{u} ∈ ℂ^{∞} | ∀_{p∈ℤ}((j + 1)^{p}u_{j})_{j∈ℕ} ∈ l_{2}\} .
□

We kunnen nu, met het ‘N-representatie theorema voor S(ℝ)’ (zie [R&S 1, Theorem V.13, p. 143]), de Schwartz-ruimte representeren door deze deelruimte s van de rijtjes-ruimte ℂ^{∞}:

Lemma D.1 We voorzien s van een topologie met de normen

∥\underline{u}∥_{s,n}^{2} = ∑_{j=0}^{∞}(j + 1)^{2n}|u_{j}|^{2} ,

met n ∈ ℕ. Zij u ∈ S(ℝ). Schrijf u_{j} = (u, ψ_{j}). Dan (u_{j})_{j∈ℕ} ∈ s, en de afbeelding u → (u_{j})_{j∈ℕ} is een topologisch isomorfisme. De Hermite-ontwikkeling

u = ∑_{j=0}^{∞} u_{j}ψ_{j}

is convergent in S(ℝ). □

D.2 De ruimte der getemperde distributies S′(ℝ)

Definitie D.3 We schrijven S′(ℝ) voor de topologisch duale ruimte van S(ℝ). We noemen S′(ℝ) de ruimte der getemperde distributies. □

We definiëren c.f. [G&S, § I.1.10, p. 28]:

Definitie D.4 We noemen een rij (u_{j})_{j∈ℕ} in S′(ℝ)-zin (zwak) convergent naar 0 als voor alle ϕ ∈ S(ℝ) geldt

(u_{j}, ϕ) → 0 .
□

Met [R&S 1, § IV.5, p. 113] volgt nu:

Lemma D.2 De ruimte S′(ℝ) bestaat uit lineaire, in S′(ℝ)-zin continue functionalen op S(ℝ). □

Definitie D.5 We definiëren de vectorruimte s′ door

s′ := \{\underline{u} ∈ ℂ^{∞}| ∃_{p∈ℕ} ((j + 1)^{−p}u_{j})_{j∈ℕ} ∈ l_{2}\}
□

Lemma D.3 Zij u ∈ S′(ℝ), en schrijf, voor alle j ∈ ℕ, u_{j} = (u, ψ_{j}). Dan \underline{u} ∈ s′.

Anderzijds, als (u_{j})_{j∈ℕ} ∈ s′, dan is er een unieke u ∈ S(ℝ) zodanig dat voor alle j ∈ ℕ (u, ψ_{j}) = u_{j}. De uitdrukking

∑_{j=0}^{∞}(u, ψ_{j})ψ_{j}

convergeert zwak in S′(ℝ)-zin naar u. Bewijs Dit lemma is een herformulering van het ‘N-representatie theorema voor S′(ℝ)’, [R&S 1, Theorem V.14, p. 143]. Immers, voor alle \underline{u} ∈ ℂ^{∞} geldt: Er is er een p ∈ ℕ zodat ((j+1)^{−p}u_{j})_{j∈ℕ} ∈ l_{2}, dan en slechts dan als er een q ∈ ℕ is zodat (j + 1)^{−q}u_{j} begrensd is voor j ∈ ℕ. □

D.3 Operatoren op S(ℝ)

We zullen de operatoren F, D en X soms opvatten als operatoren op S(ℝ). We definiëren, voor alle f ∈ S(ℝ), x ∈ ℝ,

(Ff)(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{ixy}f(y)dy ,
(Pf)(x) := f(−x) ,
(Df)(x) := \frac{d}{dx}f(x) ,
(X f)(x) := xf(x) ,
(T_{a}f)(x) := f(x − a) ,
(E_{a}f)(x) := e^{−iax}f(x) ,
(S_{a}f)(x) := f(ax)  (a ≠ 0) ,

met a ∈ ℝ. De operator F is een operator op S(ℝ). (Zie [W, Theorem 10.3, p. 291].) Dat ook de overige operatoren operatoren op S(ℝ) zijn is eenvoudig in te zien.

Lemma D.4 Er geldt

T_{a}E_{b} = e^{iab}E_{b}T_{a}

Bewijs Voor alle ϕ ∈ S(ℝ) geldt

T_{a}E_{b}ϕ(x) = e^{−ib(x−a)}ϕ(x − a)
= e^{iab}e^{−ibx}ϕ(x − a)
= e^{iab}E_{b}T_{a}ϕ(x)
□

D.4 Operatoren op S′(ℝ)

We vatten S(ℝ) op als een deelruimte van S′(ℝ). We kunnen de operatoren T_{a}, F, P, S_{a}, E_{a}, D en X nu uitbreiden tot operatoren op S′(ℝ). We doen dit als volgt, c.f. [G&S, Kapitel I, §§ 1.5, 1.6, 1.9, 2.1 pp. 19, 20, 26, 29]: We definiëren voor alle f ∈ S′(ℝ) en voor alle g ∈ S(ℝ)

⟨Ff, g⟩ := ⟨f, F^{−1}g⟩ ,
⟨Pf, g⟩ := ⟨f, Pg⟩ ,
⟨Df, g⟩ := ⟨f, −Dg⟩ ,
⟨X f, g⟩ := ⟨f, X g⟩ ,
⟨T_{a}f, g⟩ := ⟨f, T_{−a}g⟩ ,
⟨E_{a}f, g⟩ := ⟨f, E_{−a}g⟩ ,
⟨S_{a}f, g⟩ := \frac{1}{a}⟨f, S_{\frac{1}{a}} g⟩ ,

waar ⟨f, g⟩ staat voor de evaluatie van de functionaal f in g; als f regulier is, dan

⟨f, g⟩ = ∫_{−∞}^{∞} f(x)\overline{g(x)}dx .

D.4.1 Commutatie-eigenschappen van operatoren op S′(ℝ)

Op dezelfde manier als in lemma D.4 vallen voor ieder paar van onze operatoren op S(ℝ) commutatie-eigenschappen af te leiden. Met dualiteit is eenvoudig te bewijzen dat ook de operatoren op S′(ℝ) deze commutatie-eigenschappen hebben. We vinden zo: De operatoren T_{a}, S_{a} en E_{a} zijn inverteerbaar; en

T_{a}^{−1} = T_{−a}  (D.1)
S_{a}^{−1} = S_{\frac{1}{a}}  (D.2)
E_{a}^{−1} = E_{−a}  (D.3)
P^{2} = I  (D.4)
F^{2} = P  (D.5)
PD = −DP  (D.6)
X F = iFD  (D.7)
DX − X D = I  (D.8)
E_{a}F = FT_{−a}  (D.9)
T_{a}D = DT_{a}  (D.10)
T_{a}X = (X − aI)T_{a}  (D.11)
S_{a}F = \frac{1}{a}FS_{\frac{1}{a}}  (D.12)
S_{a}E_{b} = E_{ab}S_{a}  (D.13)
S_{a}D = \frac{1}{a}DS_{a}  (D.14)

De geldigheid van vergelijking D.7 is als volgt aan te tonen: Voor alle u ∈ S′(ℝ) en ϕ ∈ S(ℝ) geldt

⟨X Fu, ϕ⟩ = ⟨Fu, X ϕ⟩
= ⟨u, F^{−1}X ϕ⟩
= −i⟨u, DF^{−1}ϕ⟩
= i⟨Du, F^{−1}ϕ⟩
= i⟨FDu, ϕ⟩ .

De geldigheid van de overige vergelijkingen is op dezelfde manier aan te tonen.

Lemma D.5 Er geldt: F is inverteerbaar en

F^{−1} = FP .  (D.15)

Bewijs Bedenk dat F en P voldoen aan de vergelijkingen D.4 en D.5. Zij nu f ∈ S′(ℝ) zodanig dat Ff = 0. Dan geldt, met F^{2} = P, 0 = F0 = F^{2}f = Pf. Dus f = 0, want, omdat P^{2} = I is P inverteerbaar. Er volgt: F is inverteerbaar, en F^{−1} = FP. □

We bewijzen nog de volgende commutatie-eigenschappen.

Lemma D.6 Er geldt

X P = −PX  (D.16)
DF = iFX  (D.17)

Bewijs Er geldt, met de vergelijkingen D.4, D.5, D.6 en D.7 en lemma D.5 dat

X P = X FF^{−1}P = iFDF^{−1}P = iFDF
= iF^{−1}PDF = −iF^{−1}DPF = −iPFDPF
= −PX FPF = −PX .

Hiermee vinden we voor DF

DF = F^{−1}FDF = −iF^{−1}X F^{2}
= −iF^{−1}X P = iF^{−1}PX = iFX .
□

Lemma D.7 Er geldt

E_{a}X = X E_{a} .  (D.18)

Bewijs Bedenk dat voor X, F, D, E_{a} en T_{a} de vergelijkingen D.7, D.9 en D.10 gelden. Er geldt dus

E_{a}X = E_{a}X FF^{−1} = iE_{a}FDF^{−1} = iFT_{−a}DF^{−1}
= iFDT_{−a}F^{−1} = iFDF^{−1}E_{a} = X E_{a} .
□

Lemma D.8 Er geldt

E_{a}D = (D + iaI)E_{a}  (D.19)
S_{a}P = PS_{a}  (D.20)
S_{a}X = aX S_{a}  (D.21)
S_{a}T_{b} = T_{b/a}S_{a} .  (D.22)

Bewijs De vergelijking D.19 volgt met eenvoudige algebra uit D.9 en D.11. De vergelijkingen D.20 en D.21 volgen uit D.5 en D.12 respectievelijk D.4, D.5, D.7 en D.14. De vergelijking D.22 volgt uit D.9, D.12 en D.13. □

D.4.2 Continuïteit van operatoren op S′(ℝ)

Het theorema [R&S 2, Theorem IX.2, p. 5] zegt:

Lemma D.9 De operator F is zwak continu op S′(ℝ). □

Lemma D.10 De operatoren X en D zijn zwak continu op S′(ℝ). Bewijs Zij f_{n} → f in S′(ℝ). I.e.: voor alle ϕ ∈ S(ℝ) geldt ⟨f_{n}, ϕ⟩ → ⟨f, ϕ⟩. Zij nu ϕ ∈ S(ℝ). Dan ook Dϕ ∈ S(ℝ), en dus

⟨Df_{n}, ϕ⟩ = −⟨f_{n}, Dϕ⟩
→ −⟨f, Dϕ⟩
= ⟨Df, ϕ⟩ .

We concluderen: D is zwak continu.

Met lemma D.9, en de commutatie eigenschap D.7, vinden we nu dat ook de operator X zwak continu is op S′(ℝ). □

Lemma D.11 De operatoren T_{a} en E_{a} zijn zwak continu op S′(ℝ). Bewijs Zij f_{n} → f in S′(ℝ). I.e.: voor alle ϕ ∈ S(ℝ) geldt ⟨f_{n}, ϕ⟩ → ⟨f, ϕ⟩. Zij nu ϕ ∈ S(ℝ). Dan ook T_{−a}ϕ ∈ S(ℝ), en dus

⟨T_{a}f_{n}, ϕ⟩ = ⟨f_{n}, T_{−a}ϕ⟩
→ ⟨f, T_{−a}ϕ⟩
= ⟨T_{−a}f, ϕ⟩ .

We concluderen: T_{−a} is zwak continu.

Met lemma D.9, en de commutatie eigenschap D.9, vinden we dat ook de operator E_{a} zwak continu is op S′(ℝ). □

Bijlage E

Het eigenwaarde-probleem voor de operator A in GF

Inleiding

We beschouwen, voor u ∈ GF \ {0} en λ ∈ ℂ, het eigenwaarde-probleem

Au = λu  (E.1)

E.1 Een herformulering van het eigenwaarde-probleem in

GF_{+} in algebraïsche termen

Lemma E.1 Een u ∈ GF_{+} is eigenfunctie bij eigenwaarde λ dan en slechts dan als geldt:

u = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}η_{(μ)}^{(j+1,β)} ,

met n ∈ ℕ,

α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2} = 0 ,  (E.2)
−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1} = 0 ,  (E.3)

en

λ = nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ ,  (E.4)

terwijl, voor n ≥ 2,

0 = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2α_{2,0}μ − λ)υ_{0} + (−2iα_{2,0}β + α_{1,0})υ_{1} + 2α_{2,0}υ_{2} ,  (E.5)

voor n ≥ 3

0 = (α_{0,0} + α_{1,1} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2} − λ)υ_{1}
+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} ,  (E.6)

voor n ≥ 4, 2 ≤ j ≤ n − 2,

0 = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − λ)υ_{j}
+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2} ,  (E.7)

en voor n ≥ 1:

0 = ((n − 1)α_{1,1} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − λ)υ_{n−1}
+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} .  (E.8)

Bewijs Zij n ≥ 4. Dan vinden we voor Au:

Au = ∑_{j=0}^{n}{j(j − 1)α_{2,0}η_{(μ)}^{(j−1,β)} + [−2ijα_{2,0}β + jα_{1,0}]η_{(μ)}^{(j,β)}

+ [−2(2j + 1)α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2} + jα_{1,1} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(j+1,β)}

+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(j+2,β)}

+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(j+3,β)}]}υ_{j} ;

een som van η_{(μ)}^{(j+1,β)}’s. Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(1,β)} in deze uitdrukking aan die in λu geeft

λυ_{0} = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2α_{2,0}μ)υ_{0} + (−2iα_{2,0}β + α_{1,0})υ_{1} + 2α_{2,0}υ_{2} .  (E.9)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(2,β)} geeft

λυ_{1} = (α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{0}

+ (α_{0,0} + α_{1,1} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2})υ_{1}

+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{2} + 6α_{2,0}υ_{3} .  (E.10)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(j+1,β)}, 2 ≤ j ≤ n − 2 geeft

λυ_{j} = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{j−2} + (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{j−1}

+ (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ)υ_{j}

+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{j+2} .  (E.11)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(n,β)} geeft

λυ_{n−1} = (4α_{2,0}μ^{2} + α_{0,2} − 2α_{1,1}μ)υ_{n−3}

+ (α_{0,1} − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + 4iα_{2,0}βμ)υ_{n−2}

+ ((n − 1)α_{1,1} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2})υ_{n−1}

+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{n} .  (E.12)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+1,β)} geeft

λυ_{n} = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−2}

+ (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{n−1}

+ (nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ)υ_{n} .  (E.13)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+2,β)} geeft

0 = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n−1} + (−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1})υ_{n} . (E.14)

Gelijkstellen van de coëfficient voor η_{(μ)}^{(n+3,β)} geeft

0 = (α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2})υ_{n} .  (E.15)

Met υ_{n} ≠ 0 geeft vergelijking E.15:

α_{0,2} − 2α_{1,1}μ + 4α_{2,0}μ^{2} = 0 .

Vergelijking E.14 geeft

−iα_{1,1}β + 4iα_{2,0}βμ − 2α_{1,0}μ + α_{0,1} = 0 .

Vergelijking E.13 geeft voor de eigenwaarde λ = λ(n):

λ = nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ .

De vergelijkingen E.9 tot en met E.12 zijn te herschrijven tot het stelsel van vergelijkingen E.5 tot en met E.8 van n vergelijkingen.

Vervolgens beschouwen we de gevallen waarin n < 4. Als n = 0 vinden we voor Au:

Au = {[−2α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2} − iα_{1,0}β + α_{0,0}]η_{(μ)}^{(1,β)}
+ [4iα_{2,0}βμ − iα_{1,1}β − 2α_{1,0}μ + α_{0,1}]η_{(μ)}^{(2,β)}
+ [4α_{2,0}μ^{2} − 2α_{1,1}μ + α_{0,2}]η_{(μ)}^{(3,β)}]}υ_{0} .

Gelijkstellen aan λu geeft de vergelijkingen E.2, E.3 en E.4.

Als n = 1 vinden we de vergelijkingen E.2, E.3, E.4 en E.8. Als n = 2 vinden we de vergelijkingen E.2, E.3, E.4, E.5 en E.8. Als n = 3 vinden we de vergelijkingen E.2, E.3, E.4, E.5, E.6 en E.8. □

E.2 De oplossing van het algebraïsche probleem

E.2.1 De coëfficiënt μ

We berekenen μ. We vinden:

Lemma E.2 Als α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = 0, dan is iedere μ oplossing van vergelijking E.2. Als α_{2,0} = α_{1,1} = 0 ≠ α_{0,2}, dan heeft de vergelijking geen oplossingen. Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan heeft de vergelijking de oplossing

μ = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} .

Zij nu α_{2,0} ≠ 0. Dan heeft vergelijking E.2 de oplossingen μ_{+} en μ_{−}, met

μ_{+} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} + \frac{1}{4α_{2,0}} \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}

en

μ_{−} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} − \frac{1}{4α_{2,0}} \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}} .
□

E.2.2 De coëfficiënt β

We berekenen β. We vinden meteen:

Lemma E.3 Als α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = α_{1,0} = α_{0,1} = 0, dan is iedere β oplossing van vergelijking E.3. Als α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = α_{1,0} = 0 ≠ α_{0,1}, dan heeft de vergelijking geen oplossingen. Ook als α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = 0 ≠ α_{1,0}, en μ ≠ \frac{α_{0,1}}{2α_{1,0}} heeft de vergelijking geen oplossingen. Als α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = 0 ≠ α_{1,0}, en μ = \frac{α_{0,1}}{2α_{1,0}} , dan is iedere β een oplossing van de vergelijking. Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan heeft de vergelijking de oplossing

β = \frac{iα_{1,0}α_{0,2}}{α_{1,1}^{2}} − \frac{iα_{0,1}}{α_{1,1}} .

Zij nu α_{2,0} ≠ 0 en α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}. Dan heeft vergelijking E.3 de oplossing

β = \frac{2α_{1,0}μ − α_{0,1}}{4iα_{2,0}μ − iα_{1,1}} .
□

E.2.3 De eigenwaarde λ

We berekenen λ. We vinden

Lemma E.4 Zij, voor zekere coëfficiënten υ_{j} de functie

u = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}η_{(μ)}^{(j+1,β)}

eigenfunctie. Dan geeft vergelijking E.8 dat u eigenfunctie is bij de eigenwaarde:

λ = nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ .
□

E.2.4 De overige coëfficiënten υ_{j} van de eigenfunctie

Enige eenvoudige gevallen

We beschouwen het stelsel E.5 tot en met E.8. Met de lemmata E.2, E.3 en E.4 vinden we:

Lemma E.5 Zij α_{2,0} = α_{1,1} = α_{0,2} = 0. Dan geldt:

- Als α_{1,0} = α_{0,1} = 0, dan is ieder paar μ, β oplossing van de vergelijkingen E.2 en E.3. Als verder òf Re(μ) = 0 en Im(β) = 0, òf Re(μ) > 0, dan is λ = α_{0,0} de enige eigenwaarde van A; de eigenruimte van deze eigenwaarde is GF.

- Als α_{1,0} ≠ 0, dan is μ = \frac{α_{0,1}}{2α_{1,0}} oplossing van vergelijking E.2; iedere β ∈ ℂ is oplossing van vergelijking E.3. Schrijf β = \frac{i}{α_{1,0}} (λ − α_{0,0}). Dan is λ oplossing van E.4. Het stelsel voor υ_{j} heeft dan echter geen niet-triviale oplossing. A heeft dus geen eigenwaarden.

- In alle overige gevallen heeft A geen eigenwaarden.

□

Een criterium voor oplosbaarheid van het stelsel vergelijkingen voor de coëfficiënten υ_{j}

We onderzoeken nu de oplosbaarheid van het stelsel E.5 tot en met E.8, met \underline{α} zodanig dat α_{2,0}, α_{1,1} en α_{0,2} niet alle gelijk aan nul zijn.

Lemma E.6 Zij òf α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, òf α_{2,0} ≠ 0 ≠ α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}, en zij μ en β oplossingen van de vergelijkingen E.2 en E.3. Dan heeft het stelsel E.5 tot en met E.8 precies één niet-triviale oplossing. Bewijs De voorwaarde “òf α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, òf α_{2,0} ≠ 0” is nodig en voldoende voor het bestaan van een eindig (≠ 0) aantal oplossingen (μ, β) van de vergelijkingen E.2 en E.3. Laat \underline{α} aan deze voorwaarde voldoen, en laat (μ, β) zo’n oplossing zijn.

Beschouw nu het stelsel. We kunnen υ_{n} vrij kiezen (mits υ_{n} ≠ 0). We kiezen υ_{n} = 1. We vinden dan een stelsel van n + 1 vergelijkingen voor n + 1 onbekenden, dat voor is te stellen door

A\overline{u} = \overline{f} ,

met \overline{u} de vector (υ_{0}, υ_{1}, ..., υ_{n})^{T}, \overline{f} de vector (0, 0, ..., 0, 1)^{T} en A een 3-diagonaalse bovendriehoeksmatrix, met matrix-elementen a_{i,j}, 0 ≤ i, j ≤ n. Er zal gelden

det(A) = ∏_{j=0}^{n} a_{j,j}

= ∏_{j=0}^{n−1} jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − λ .

Nu geldt, volgens de regel van Cramer, dat het stelsel een niet-triviale oplossing heeft als det(A) ≠ 0; i.e. als

λ ∉ {jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ | 0 ≤ j ≤ n − 1} .

Wanneer we de uitdrukking voor λ uit lemma E.4 substitueren, vinden we dat deze eis equivalent is aan:

n(α_{1,1} − 4α_{2,0}μ) ∉ {j(α_{1,1} − 4α_{2,0}μ) | 0 ≤ j ≤ n − 1} ,

ofwel

α_{1,1} − 4α_{2,0}μ ≠ 0 .

Als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan is aan deze eis voldaan. Als α_{2,0} ≠ 0, dan betekent deze eis, met de expliciete uitdrukking voor μ uit lemma E.2: α_{1,1}^{2} ≠ 4α_{2,0}α_{0,2}. □

E.3 De oplossing van het eigenwaarde-probleem in GF

Zij vanaf nu A niet flauw, dat wil zeggen, α_{2,0}, α_{1,1}, α_{1,0}, α_{0,2}, α_{0,1} niet alle gelijk aan nul.

E.3.1 De deelruimte GF_{−}

Met de lemmata E.2 en E.3 volgt direct:

Lemma E.7 De vergelijkingen E.2 en E.2 hebben een oplossing (μ, β) met μ = 0, dan en slechts dan als α_{0,2} = 0 en α_{1,1} ≠ 0. In dit geval is β = −\frac{iα_{0,1}}{α_{1,1}} . □

Lemma E.8 Als A(\underline{α}) een eigenfunctie u ∈ GF_{−} heeft, dan geldt α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1} en Im(α_{1,1}α_{1,0}) = 0. Bewijs Zij u ∈ GF_{−} een eigenfunctie van A(\underline{α}). Dan is U := Fu ∈ GF_{+}, en U is eigenfunctie van A(\underline{α̂}) := FA(\underline{α})F^{−1};

α̂ = (−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1}) .

U is te schrijven als

U = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}η_{(μ)}^{(j+1,β)}

en, omdat F^{−1}U ∈ GF_{−}, geldt dat μ = 0. Vergelijking E.2 geeft dan dat α_{2,0} = 0. Omdat vergelijking E.3 oplosbaar is, geldt α_{1,1} ≠ 0. Deze vergelijking heeft dan de oplossing

β = \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} .

Omdat Im(β) = 0, geldt dat Im(α_{1,1}α_{1,0}) = 0; i.e. Re(α_{1,1})Im(α_{1,0}) + Im(α_{1,1})Re(α_{1,0}) = 0. □

E.3.2 Gevalsonderscheid: \underline{α} sterk of zwak van de eerste of van de tweede soort

We noemen \underline{α} van de eerste soort als α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1} en \underline{α} zodanig dat òf Re(μ) = 0 en Im(β) = 0, òf Re(μ) > 0, met μ = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} en β = \frac{iα_{1,0}α_{0,2}}{α_{1,1}^{2}} − \frac{iα_{0,1}}{α_{1,1}} . We noemen \underline{α} sterk van de eerste soort als verder Im(α_{1,1}α_{1,0}) = 0. We noemen \underline{α} zwak van de eerste soort, als \underline{α} van de eerste soort is, en \underline{α} niet sterk van de eerste soort is.

We noemen \underline{α} van de tweede soort als α_{2,0} ≠ 0 ≠ α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}.

Lemma E.9 Als \underline{α} niet van de eerste of tweede soort is, dan heeft A geen eigenwaarden. Bewijs Met de resultaten uit de vorige paragraaf is dit direct in te zien: Immers, als \underline{α} niet van de eerste of tweede soort is, dan hebben de vergelijkingen E.2 en E.3 voor μ en β geen eindig aantal (≠ 0) oplossingen μ, β met òf Re(μ) = 0 en Im(β) = 0, òf Re(μ) > 0. □

We schrijven nu A_{+} = A|_{GF_{+}} en A_{−} = A|_{GF_{−}}. We beschouwen het eigenwaarde-probleem voor deze twee operatoren.

E.3.3 De oplossing in GF_{+}

Stelling E.1 Zij \underline{α} van de eerste soort. Schrijf

μ = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}}

en

β = \frac{iα_{1,0}α_{0,2}}{α_{1,1}^{2}} − \frac{iα_{0,1}}{α_{1,1}} .

De eigenwaarden van de operator A_{+} zijn dan voor te stellen door

λ_{z,n} = nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β ,

met n ∈ ℕ.

De bijbehorende eigenfuncties worden gegeven door

u_{z,n} = ∑_{j=0}^{n} υ_{z,n,j}η_{(μ)}^{(j+1,β)} ,

waar de coëfficiënten υ_{z,n,j}, 0 ≤ j ≤ n, voldoen aan: als n ≥ 2:

0 = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − λ_{z,n})υ_{z,n,0} + α_{1,0}υ_{z,n,1} ,

als n ≥ 3

0 = (α_{0,0} + α_{1,1} − iα_{1,0}β − λ_{z,n})υ_{z,n,1}
+ 2α_{1,0}υ_{z,n,2} ,

als n ≥ 4, 2 ≤ j ≤ n − 2,

0 = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − λ_{z,n})υ_{z,n,j}
+ (j + 1)α_{1,0}υ_{z,n,j+1} ,

en als n ≥ 1:

0 = ((n − 1)α_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − λ_{z,n})υ_{z,n,n−1}
+ nα_{1,0}υ_{z,n,n} .
□

Met lemma E.8 volgt:

Lemma E.10 Als A_{−}(\underline{α}) een eigenfunctie heeft, dan is \underline{α} sterk van de eerste soort. □

Stelling E.2 Zij \underline{α} van de tweede soort. Schrijf

μ_{±} = \frac{α_{1,1}}{4α_{2,0}} ± \frac{1}{4α_{2,0}} \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}

en

β_{±} = \frac{2α_{1,0}μ_{±} − α_{0,1}}{4iα_{2,0}μ_{±} − iα_{1,1}} .

Definieer de verzameling P M = P M(\underline{α}) ⊂ \{+, −\} als de verzameling van elementen ± waarvoor geldt dat òf Re(μ_{±}) = 0 en Im(β_{±}) = 0, òf Re(μ_{±}) > 0.

De eigenwaarden van de operator A zijn dan voor te stellen door

λ_{±,n} = nα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β_{±} − α_{2,0}β_{±}^{2} − 2(2n + 1)α_{2,0}μ_{±} ,

met n ∈ ℕ, ± ∈ P M.

De bijbehorende eigenfuncties worden gegeven door

u_{±,n} = ∑_{j=0}^{n} υ_{±,n,j}η_{(μ_{±})}^{(j+1,β_{±})} ,

waar de coëfficiënten υ_{±,n,j}, 0 ≤ j ≤ n, voldoen aan: als n ≥ 2:

0 = (α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2α_{2,0}μ − λ)υ_{±,n,0} + (−2iα_{2,0}β + α_{1,0})υ_{±,n,1}
+ 2α_{2,0}υ_{±,n,2} ,

als n ≥ 3

0 = (α_{0,0} + α_{1,1} − iα_{1,0}β − 6α_{2,0}μ − α_{2,0}β^{2} − λ)υ_{±,n,1}
+ (2α_{1,0} − 4iα_{2,0}β)υ_{±,n,2} + 6α_{2,0}υ_{±,n,3} ,

als n ≥ 4, 2 ≤ j ≤ n − 2,

0 = (jα_{1,1} + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − 2(2j + 1)α_{2,0}μ − λ)υ_{±,n,j}
+ ((j + 1)α_{1,0} − 2i(j + 1)α_{2,0}β)υ_{±,n,j+1}
+ (j + 1)(j + 2)α_{2,0}υ_{±,n,j+2} ,

en als n ≥ 1:

0 = ((n − 1)α_{1,1} − 2(2n − 1)α_{2,0}μ + α_{0,0} − iα_{1,0}β − α_{2,0}β^{2} − λ)υ_{±,n,n−1}
+ (nα_{1,0} − 2inα_{2,0}β)υ_{±,n,n} .
□

E.3.4 De oplossing in GF_{−}

Stelling E.3 Zij n ∈ ℕ en \underline{α} sterk van de eerste soort. Schrijf μ = 0, β = \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} en

λ_{s,n} = α_{0,0} − (n + 1)α_{1,1} + \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}^{2}} (α_{0,2}α_{1,0} − α_{1,1}α_{0,1}) .

Schrijf verder

ˆ\underline{α} = (−α_{0,2}, −α_{1,1}, −iα_{0,1}, −α_{2,0}, −iα_{1,0}, α_{0,0} − α_{1,1}) .

Zij

U_{n} := ∑_{j=0}^{n} υ̂_{j}η_{(0)}^{(j+1, \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )}

met υ̂_{j} voor ˆ \underline{α} oplossing van het stelsel E.5 tot en met E.8.

Dan vormen λ_{s,n}, n ∈ ℕ de eigenwaarden van de operator A_{−}; de bijbehorende eigenfuncties zijn

u_{s,n} = ∑_{j=0}^{n} υ_{j}η^{(−j,− \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )}

met

υ_{j} = \sqrt{2π}j!(−i)^{j}υ̂_{j} .

Bewijs Omdat Im(α_{1,1}α_{1,0}) = 0, en dus Re(α_{1,1})Im(α_{1,0})+Im(α_{1,1})Re(α_{1,0}) = 0, is Im(\frac{α_{0,1}}{α_{1,1}} ) = 0. Dus

η_{(0)}^{(j+1, \frac{α_{0,1}}{α_{1,1}} )} ≠ 0 .

Omdat α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, volgt met de lemmata E.2 en E.3 dat de vergelijkingen E.2 en E.3 voor ˆ \underline{α}:

−α_{2,0} + 2α_{1,1}μ − 4α_{0,2}μ^{2} = 0 ,
iα_{1,1}β − 4iα_{0,2}βμ + 2iα_{0,1}μ − iα_{1,0} = 0 ,

een oplossing

μ = 0
β = \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}}

hebben. De eigenwaarden zijn dan

λ_{s,n} = α_{0,0} − (n + 1)α_{1,1} + \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}^{2}} (α_{0,2}α_{1,0} + α_{1,1}α_{0,1}) ,

n ∈ ℕ. Verder heeft, voor ˆ \underline{α}, het stelsel E.5 tot en met E.8 precies één niet-triviale oplossing υ̂_{j}, 0 ≤ j ≤ n. Met lemma E.1 volgt dan dat

U_{n} := ∑_{j=0}^{n} υ̂_{j}η_{(0)}^{(j+1, \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )}

eigenfunctie is bij eigenwaarde λ_{s,n}. Beschouw nu u_{s,n} = F^{−1}U_{n}. Er geldt

u_{s,n} = ∑_{j=0}^{n} υ̂_{j}F^{−1}η_{(0)}^{(j+1, \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )}

= ∑_{j=0}^{n} \sqrt{2π}(−i)^{j}j!υ̂_{j}η^{(−j,− \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )}

= ∑_{j=0}^{n} υ_{j}η^{(−j,− \frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} )} .

Omdat nu A(ˆ\underline{α})U_{n} = λ_{s,n}U_{n}, geldt, met lemma 2.1, dat

A(\underline{α})u_{s,n} = λ_{s,n}u_{s,n} .
□

E.4 De propagator ontwikkeld naar zijn eigenfuncties

E.4.1 De propagator op GF, met \underline{α} van de tweede soort

Zij \underline{α} van de tweede soort en P M, β_{±}, μ_{±} en u_{±,n} als in stelling E.2. Omdat de elementen η_{(μ)}^{(j+1,β)}, j ∈ ℕ, onderling onafhankelijk zijn, vinden we dan:

Lemma E.11 De eigenfuncties u_{±,n}, n ∈ ℕ, ± ∈ P M vormen een onderling onafhankelijk stelsel. Er geldt ⟨{u_{±,n}|n ∈ ℕ, ± ∈ P M}⟩ = ⟨{η_{(μ_{±})}^{(j+1,β_{±})} | j ∈ ℕ, ± ∈ P M}⟩: een deelruimte van de ruimte GF. □

Stelling E.4 Voor t ∈ ℝ is de operator e^{tA}, met

D(e^{tA}) = ⟨{η_{(μ_{±})}^{(j+1,β_{±})} | 0 ≤ j ≤ N, ± ∈ P M}⟩ ,

een operator in GF_{+}. Er geldt, voor alle u ∈ D(e^{tA}),

e^{tA}u = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}e^{λ_{±,j}t}u_{±,j} ,

waar de coëfficiënten κ_{±,j} volgen uit:

u = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}u_{±,j} .

Bewijs De functie e^{tA}u is oplossing van het beginwaarde-probleem

u̇(t) = Au(t)
u(0) = u

met u ∈ D(e^{tA}). We substitueren als kandidaat-oplossing een functie van de vorm

u(t) = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}(t)u_{±,j} ,

waar de coëfficiënten κ_{±,j}(t) voldoen aan

u = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}(0)u_{±,j} .

(Lemma E.11 zegt dat zulke coëfficiënten bestaan.) Er geldt, volgens stelling E.2:

Au(t) = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}(t)Au_{±,j}

= ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ_{±,j}(t)λ_{±,j}u_{±,j} ,

anderzijds geldt

u̇(t) = ∑_{j=0}^{n} ∑_{±∈P M} κ̇_{±,j}(t)u_{±,j} .

Met de onafhankelijkheid van de eigenfuncties volgt nu

κ_{±,j}(t) = κ_{±,j}(0)e^{λ_{±,j}t} .

De aldus gevonden functie u(t) is een, en de enige, oplossing. □

E.4.2 De propagator op GF, met \underline{α} van de eerste soort

Zij \underline{α} van de eerste soort, en zij

μ = \frac{α_{0,2}}{2α_{1,1}} ,
β = \frac{iα_{1,0}α_{0,2}}{α_{1,1}^{2}} − \frac{iα_{0,1}}{α_{1,1}} ,
b = −\frac{α_{1,0}}{α_{1,1}} ;

en u_{z,n}, λ_{z,n} en u_{s,n}, λ_{s,n} als in de stellingen E.1 en E.3. Dan geldt het volgende.

\underline{α} sterk van de eerste soort Analoog aan paragraaf E.4.1 vinden we: Lemma E.12 Zij \underline{α} sterk van de eerte soort. De eigenfuncties u_{sz,n}, n ∈ ℕ, sz ∈ \{s, z\} vormen een onderling onafhankelijk stelsel. Er geldt

⟨{u_{sz,n}|n ∈ ℕ, sz ∈ {s, z}}⟩ = ⟨{η_{(μ)}^{(j+1,β)} | j ∈ ℕ} ∪ {η^{(−j,b)} | j ∈ ℕ}⟩ .

Dit stelsel is een deelruimte van de ruimte GF. □ Stelling E.5 Zij \underline{α} sterk van de eerste soort. Dan is, voor t ∈ ℝ, de operator e^{tA}, met

D(e^{tA}) = ⟨{η_{(μ)}^{(j+1,β)} | j ∈ ℕ} ∪ {η^{(−j,b)} | j ∈ ℕ}⟩ , een operator in GF. Er geldt, voor alle u ∈ D(e^{tA}),

e^{tA}u = ∑_{j=0}^{n} ∑_{sz∈{s,z}} κ_{sz,j}e^{λ_{sz,j}t}u_{sz,j} ,

waar de coëfficiënten κ_{sz,j} volgen uit:

u = ∑_{j=0}^{n} ∑_{sz∈{s,z}} κ_{sz,j}u_{sz,j} .
□

\underline{α} zwak van de eerste soort In dit geval vervallen de eigenwaarden u_{s,n}, dus ook het daardoor opgespannen deel van het domein van e^{tA}. Op ⟨\{u_{z,n} | n ∈ ℕ\}⟩ werkt e^{tA} als in e^{tA(\underline{α})}, met \underline{α} sterk van de eerste soort.

E.4.3 Existentie van een eigenwaarde van A, met \underline{α} van de tweede soort

We onderzoeken enige specifieke gevallen van operatoren A(\underline{α}), en tonen daarmee ook aan dat er \underline{α}’s zijn waarvoor P M ≠ ∅: De oplossing van het eigenwaarde-probleem met \underline{α} van de tweede soort is niet triviaal.

De propagator met A diffusieachtig

Ter herinnering: We noemen de operator A(\underline{α}) diffusieachtig als Re(α_{2,0}) ≥ δ > 0, Re(α_{0,2}) ≤ −δ en |Im(α_{1,1})| ≤ 2δ − ϵ < 2δ.

Lemma E.13 Zij λ_{±,n} en u_{±,n} als in stelling E.2. Als A diffusieachtig is, en α_{2,0}, α_{1,1}, α_{0,2} alle zuiver reëel zijn, terwijl α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2} ≠ 0, dan worden de eigenwaarden van A gegeven door λ_{+,n}, en de bijbehorende eigenfuncties door u_{+,n}. Bewijs Als A diffusieachtig, dan is \underline{α} niet van de eerste soort. A_{−} heeft dan dus geen eigenfuncties. Omdat α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2} ≠ 0, is \underline{α} van de tweede soort.

We bepalen P M. Er geldt α_{1,1}^{2} −4α_{2,0}α_{0,2} > α_{1,1}^{2} ≥ 0, dus, omdat α_{2,0} < 0, μ_{+} > 0 en μ_{−} < 0. We vinden: P M = {+}. Dit geeft, met stelling E.2, het gestelde. □

De propagator met A golfachtig

Ter herinnering: We noemen de operator A(\underline{α}) golfachtig als Re(α_{2,0}) = Im(α_{1,1}) = Im(α_{1,0}) = Re(α_{0,2}) = Re(α_{0,1}) = 0.

Lemma E.14 Als A golfachtig is, en α_{2,0} = 0 ≠ α_{1,1}, dan worden de eigenwaarden van A gegeven door λ_{sz,n}, en de bijbehorende eigenfuncties door u_{sz,n}, met sz ∈ {s, z}, n ∈ ℕ, en λ_{sz,n}, u_{sz,n} als in de stellingen E.1 en E.3. Bewijs Bedenk dat, omdat A golfachtig is, Im(α_{1,1}α_{1,0}) = 0. Het lemma volgt nu met de stellingen E.1 en E.3, immers: \underline{α} is sterk van de eerste soort. □

Lemma E.15 Als A golfachtig is, α_{2,0} ≠ 0, α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2} > 0, dan worden de eigenwaarden van A gegeven door λ_{±,n} en de bijbehorende eigenfuncties door u_{±,n}, ± ∈ {+, −}, n ∈ ℕ, met λ_{±,n} en u_{±,n}, als in stelling E.2.

Bewijs \underline{α} is van de tweede soort. Er geldt Im(α_{1,1} ± \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}}) = 0, dus Re(μ_{±}) = 0. Verder Im(β_{±}) = 0. Dit geeft: P M = {+, −}. □

Lemma E.16 Als A golfachtig is, en Re(α_{1,1}) = 2Re(α_{0,0}) terwijl α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2} < 0 en α_{2,0} ≠ 0 ≠ α_{0,2}, dan worden de eigenwaarden van A gegeven door λ_{+,n} en de bijbehorende eigenfuncties door u_{+,n}, n ∈ ℕ, met λ_{±,n} en u_{±,n}, als in stelling E.2. Verder is, voor alle n, λ_{+,n} zuiver imaginair. Bewijs \underline{α} is van de tweede soort. Er geldt \sqrt{α_{1,1}^{2} − 4α_{2,0}α_{0,2}} = iw, met w > 0. Omdat Re(α_{1,1}) = 2Re(α_{0,0}), is, voor alle ±, n, λ_{±,n} zuiver imaginair. Dit is met eenvoudig rekenwerk na te gaan.

We berekenen P M. Omdat Im(α_{2,0}) > 0, geldt dat Re(μ_{+}) > 0 en Re(μ_{−}) < 0, en dus P M = {+}. De eigenwaarden en eigenfuncties zijn dus λ_{+,n} en u_{+,n}. (N.B.: Dat de eigenwaarden zuiver imaginair zijn, wisten we natuurlijk al. Immers A is scheefgeadjungeerd op L_{2}(ℝ). Verder is Re(μ_{+}) > 0 dus η_{(μ_{+,n})}^{(j+1,β_{+,n})} ∈ L_{2}(ℝ). Dus ook de eigenfuncties, die immers lineaire combinaties zijn van deze basiselementen, zijn L_{2}(ℝ)-functies.)

(Als Im(α_{2,0}) < 0, dan vinden we op dezelfde manier dat P M = {−}. De resultaten zijn dan gelijksoortig.) □

Bibliografie

[A&S] M. Abramowitz & I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, (1964)

[G&S] I.M. Gelfand und G.E. Schilow, Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), Band I: Veralgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlijn, (1960)

[G1] J. de Graaf, A Constructive Approach to One-Parameter Semi-Groups of Operators in Hilbert Space, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume 43, pp. 125 -153, (1971)

[G2] J. de Graaf, Dictaat Lineaire Analyse 3, Technische Universiteit Eindhoven

[K] H. Kober, Dictionary of Conformal Representations, Dover Publications, USA, (1957)

[L] J.J. Lodder, Towards a symmetrical theory of generalised functions, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, (1991)

[R&S 1] Michael Reed & Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis, Academic Press, New York and London, (1972)

[R&S 2] Michael Reed & Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, II: Fourier Analysis, Self-adjointness, Academic Press, New York and London, (1975)

[T] E.C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, New York, (1948)

[W] Joachim Weidmann, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, New York, (1980)

[Y] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, (1980)